曲線の長さ

媒介変数表示された曲線 $3$\displaystyle{x=u $t$ }$ ， $3$\displaystyle{y=v $t$ }$ 　 $3$\displaystyle{ $ {\alpha}\leq t\leq {\beta} $ }$ の長さ $3$s$ は

$3$\displaystyle{ s=\displaystyle{\int }_{\alpha }^{{\beta}}\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }\right) }^{2} }dt }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{\int }_{\alpha }^{{\beta}}\sqrt{ { \left{{ {u}^{\prime }\left({t}\right) }\right} }^{2}+{ \left{{ {v}^{\prime }\left({t}\right) }\right} }^{2} }dt }$

曲線 $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{ $ a\leq x\leq b $ }$ の長さ $3$s$ は

$3$\displaystyle{ s=\displaystyle{\int }_{a}^{b}\sqrt{ 1+{ \left({ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }\right) }^{2} }dx }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{\int }_{a}^{b}\sqrt{ 1+{ \left{{ {f}^{\prime }\left({x}\right) }\right} }^{2} }dx }$

となる．ただし， $3$\displaystyle{a=u $\alpha $ }$ ， $3$\displaystyle{b=u ${\beta}$ }$ である．

■関連動画

■導出

関数 $3$\displaystyle{u $t$ }$ ， $3$\displaystyle{v $t$ }$ は閉区間 $3$\displaystyle{ \[ {\alpha},{\beta} \] }$ で定義されている．この区間 $3$\displaystyle{ \[ {\alpha},{\beta} \] }$ を $3$\displaystyle{{\alpha}=\hspace{1}{t}_{0}< \hspace{1}{t}_{1}< \hspace{1}{t}_{2}< \cdots < \hspace{1}{t}_{ n- 1 }< \hspace{1}{t}_{n}={\beta}}$ となる $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{i}\text{\hspace{5}} $ i=0,1,2,\cdots ,n $ }$ で $3$n$ 個の区間に分割する． $3$\displaystyle{\text{A}= $ u \({\alpha}$ ,v ${\alpha}$ \) }$ ， $3$\displaystyle{\text{B}= $ u \({\beta}$ ,v ${\beta}$ \) }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{T}}_{i}= $ u \( \hspace{1}{t}_{i} $ ,v $ \hspace{1}{t}_{i} $ \) }$ とすると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{T}}_{i}}$ は曲線 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ 上にある．（右図参照）線分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{T}}_{ i- 1 }\hspace{1}{\text{T}}_{i}}$ の長さ $3$\displaystyle{{\Delta}\hspace{1}{s}_{i}}$ は， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{i}=u $ \hspace{1}{t}_{i} $ }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{i}=v $ \hspace{1}{t}_{i} $ }$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}\hspace{1}{x}_{i}=\hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{x}_{ i- 1 }}$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}\hspace{1}{y}_{i}=\hspace{1}{y}_{i}- \hspace{1}{y}_{ i- 1 }}$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}\hspace{1}{t}_{i}=\hspace{1}{t}_{i}- \hspace{1}{t}_{ i- 1 }}$ とすると

$3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{s}_{i} }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ { \left({ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right) }^{2}+{ \left({ {\Delta}\hspace{1}{y}_{i} }\right) }^{2} } }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{t}_{i} \hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ \frac{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{y}_{i} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{t}_{i} \hspace{2}} }\right) }^{2} }{\Delta}\hspace{1}{t}_{i} }$

曲線 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ の長さは，和の極限としての定積分の考え方より

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{t}_{i} \hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ \frac{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{y}_{i} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{t}_{i} \hspace{2}} }\right) }^{2} }{\Delta}\hspace{1}{t}_{i} }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{\int }_{\alpha }^{{\beta}}\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} }\right) }^{2} }dt }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{\int }_{\alpha }^{{\beta}}\sqrt{ { \left{{ {u}^{\prime }\left({t}\right) }\right} }^{2}+{ \left{{ {v}^{\prime }\left({t}\right) }\right} }^{2} }dt }$

となる．一方

$3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{s}_{i} }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ { \left({ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right) }^{2}+{ \left({ {\Delta}\hspace{1}{y}_{i} }\right) }^{2} } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ 1+{ \left({ \frac{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{y}_{i} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} \hspace{2}} }\right) }^{2} }{\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$

と考えると，曲線 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ $3$\displaystyle{ $ a\leq x\leq b $ }$ の長さは

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\sqrt{ 1+{ \left({ \frac{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{y}_{i} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} \hspace{2}} }\right) }^{2} }{\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{\int }_{a}^{b}\sqrt{ 1+{ \left({ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }\right) }^{2} }dx }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{\int }_{a}^{b}\sqrt{ 1+{ \left{{ {f}^{\prime }\left({x}\right) }\right} }^{2} }dx }$

となりる．

以上より，公式が導かれる．（区分求積法を参考する）

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最終更新日： 2024年5月17日