関数の極限の求め方

$3$\displaystyle{ \infty- \infty }$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\infty\hspace{2}}{\hspace{2}\infty\hspace{2}}}$ は極限が求められる形に式を変形する．

■変形方法

● 因数分解→約分

例)

$3$\displaystyle{ {\lim}\limits_{ x\rightarrow 1 }\frac{\hspace{2} {x}^{2}+ x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+ 2x- 3 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow 1 }\frac{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+ 2 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+ 3 $ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow 1 }\frac{\hspace{2} x+ 2 \hspace{2}}{\hspace{2} x+ 3 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

● $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{n} \hspace{2}}}$ を作り出す

・最高次数でくくりだし

例)

$3$\displaystyle{ {\lim}\limits_{ x\rightarrow \text{\infty} } $ 3{x}^{3}+ 2{x}^{2}+ 5 $ }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow \text{\infty} }{x}^{3} $ 3- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}{x}^{3}\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =\text{\infty}\times $ 3- 2\times 0- 5\times 0 $ }$

$3$\displaystyle{ =\text{\infty}\times 3 }$

$3$\displaystyle{ =\text{\infty} }$

・ $3$\displaystyle{{x}^{n}}$ で割る

例)

$3$\displaystyle{ {\lim}\limits_{ x\rightarrow \text{\infty} }\frac{\hspace{2} {x}^{2}+ 3x+ 4 \hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}+1 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow \text{\infty} }\frac{\hspace{2} 1+ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}{x}^{2}\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 2+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{x}^{2}\hspace{2}} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

● 有理化

例)

$3$\displaystyle{ {\lim}\limits_{ x\rightarrow 2 }\frac{\hspace{2} \sqrt{ x+ 2 }- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow 2 }\frac{\hspace{2} $ \sqrt{ x+ 2 }- 2 $ $ \sqrt{ x+ 2 }+ 2 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ \sqrt{ x+ 2 }+ 2 $ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow 2 }\frac{\hspace{2} x+ 2- {2}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ \sqrt{ x+ 2 }+ 2 $ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow 2 }\frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ \sqrt{ x+ 2 }+ 2 $ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow 2 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+ 2 }+ 2 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

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最終更新日 2015年12月21日