関数の極限の定義

■収束について

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ において， $3$\displaystyle{x}$ が $3$\displaystyle{a}$ と異なる値をとりながら $3$\displaystyle{a}$ に限りなく近づくとき， $3$\displaystyle{f $x$ }$ が一定値 $3$\displaystyle{{\alpha}}$ に限りなく近づく場合

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ ={\alpha}}$ （あるいは， $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のとき $3$\displaystyle{f $x$ \rightarrow {\alpha}}$ ）

と表す． $3$\displaystyle{{\alpha}}$ を $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のときの $3$\displaystyle{f $x$ }$ の極限値といい， $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のとき， $3$\displaystyle{f $x$ }$ は $3$\displaystyle{{\alpha}}$ に収束するという．

●参考

定義ε-δ論法による極限の定義

$3$a$ の近くで定義された関数 $3$ f\left({x}\right)$ において，任意の正数 $3${\varepsilon}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって，

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- b }\right|< {\varepsilon}}$

となるならば，これを

$3$x\rightarrow a$ のとき $3$f\left({x}\right)\rightarrow b$ あるいは $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)=b}$

とかき， $3$b$ を $3$x\rightarrow a$ のときの極限値という

引用元：田島一郎，イプシロン・デルタ．共立出版，1978年，p2

■発散について

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ において， $3$\displaystyle{x}$ が $3$\displaystyle{a}$ と異なる値をとりながら $3$\displaystyle{a}$ に限りなく近づくとき，それに応じて， $3$\displaystyle{f $x$ }$ の値が限りなく大きくなる場合

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ =+\infty}$ （または， $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のとき $3$\displaystyle{f $x$ \rightarrow +\infty}$ ）

と表す． $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のとき， $3$\displaystyle{f $x$ }$ は正の無限大に発散するという．

また $3$\displaystyle{x}$ が $3$\displaystyle{a}$ と異なる値をとりながら $3$\displaystyle{a}$ に限りなく近づくとき， $3$\displaystyle{f $x$ }$ の値が負で，その絶対値が限りなく大きくなる場合

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ =- \infty}$ （または， $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のとき $3$\displaystyle{f $x$ \rightarrow - \infty}$ ）

と表す． $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のとき， $3$\displaystyle{f $x$ }$ は負の無限大に発散するという．

■極限なし

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ について

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ ={\alpha}}$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ =+\infty}$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ =- \infty}$

のいずれでもない場合， $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のときの $3$\displaystyle{f $x$ }$ の極限はないという．

■右側極限，左側極限

変数 $3$\displaystyle{x}$ が１つの値 $3$\displaystyle{a}$ に限りなく近づくとき， $3$\displaystyle{a}$ より大きい値をとりながらに近づく場合と $3$\displaystyle{a}$ より小さい値をとりながらに近づく場合がある．

$3$\displaystyle{a}$ より大きい値をとりながらに近づく場合には $3$\displaystyle{x\rightarrow a+0}$
$3$\displaystyle{a}$ より小さい値をとりながらに近づく場合には $3$\displaystyle{x\rightarrow a- 0}$

と表し， $3$\displaystyle{a=0}$ の場合はそれぞれ， $3$\displaystyle{x\rightarrow +0}$ ， $3$\displaystyle{x\rightarrow - 0}$ と表す．

$3$\displaystyle{x\rightarrow a+0}$ ， $3$\displaystyle{x\rightarrow a- 0}$ のときの $3$\displaystyle{f $x$ }$ の極限を，それぞれ $3$\displaystyle{x}$ が $3$\displaystyle{a}$ に近づくときの $3$\displaystyle{f $x$ }$ の右側極限，左側極限といい

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a+0 }f $x$ ={\alpha}}$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a- 0 }f $x$ ={\alpha}}$

と表す．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ =\alpha }$ であることは， $3$\displaystyle{x}$ が $3$\displaystyle{a}$ と異なる値をとりながら $3$\displaystyle{a}$ に限りなく近づくとき，どのような近づき方をしても， $3$\displaystyle{f $x$ }$ の値は $3$\displaystyle{{\alpha}}$ に限りなく近づくことを意味している．

したがって，

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ ={\alpha}}ce{5}\hspace{5}$ ならば $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a+0 }f $x$ ={ \lim }\limits_{ x\rightarrow a- 0 }f $x$ ={\alpha}}$

である． $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a+0 }f $x$ }$ と $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a- 0 }f $x$ }$ の値が異なるならば $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のときの $3$\displaystyle{f $x$ }$ の極限はない．

■ $3$\displaystyle{x\rightarrow +\infty,x\rightarrow - \infty}$ のときの極限

これまでは， $3$\displaystyle{a}$ が一定の数を表すとき， $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ のときの関数の極限を考えたが， $3$\displaystyle{x\rightarrow +\infty}$ （ $3$\displaystyle{x}$ の値が限りなく大きくなる），あるいは $3$\displaystyle{x\rightarrow - \infty}$ （ $3$\displaystyle{x}$ の値が負でその絶対値の値が限りなく大きくなる）の場合の極限について説明する．

$3$\displaystyle{x\rightarrow +\infty}$ のとき，関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ がある一定値 $3$\displaystyle{\alpha }$ に限りなく近づく場合

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow +\infty }f $x$ =\alpha }$ （ $3$\displaystyle{x\rightarrow +\infty}$ のとき $3$\displaystyle{f $x$ \rightarrow \alpha }$ ）

と表す．

$3$\displaystyle{x\rightarrow -\infty}$ のとき，関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ がある一定値 $3$\displaystyle{\alpha }$ に限りなく近づく場合

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow -\infty }f $x$ =\alpha }$ （ $3$\displaystyle{x\rightarrow -\infty}$ のとき $3$\displaystyle{f $x$ \rightarrow \alpha }$ ）

と表す．

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最終更新日： 2025年4月26日

関数の極限の定義

■収束について

●参考

■発散について

■極限なし

■右側極限，左側極限

■ のときの極限

■ $3$\displaystyle{x\rightarrow +\infty,x\rightarrow - \infty}$ のときの極限