極限 x →0　（e^x -1)/x

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{x}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$

■導出

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log $ 1+x $ \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1 }$ の関係式において， $3$\displaystyle{1+x={e}^{t}\rightarrow x={e}^{t}- 1}$ とおくと，

$3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{t\rightarrow 0}$ となり

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log {e}^{t} \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{t}- 1 \hspace{2}}=1 }$

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} t\log e \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{t}- 1 \hspace{2}}=1 }$

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{t}- 1 \hspace{2}}=1 }$ 　 $3$\displaystyle{ \left({ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \log e=1 }\right) }$

よって，（両辺の逆数をとり， $3$\displaystyle{t}$ を $3$\displaystyle{x}$ に書き換える）

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{x}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$

となる．

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最終更新日： 2023年4月14日

極限 x →0 （e^x -1)/x

■導出

極限 x →0　（e^x -1)/x