関数の極限値の性質

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ が存在するとき，次式が成り立つ．

$3$\displaystyle{ {\lim}\limits_{ x\rightarrow a } \{ f $x$ + g $x$ \} }$ $3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ $3$\displaystyle{ + {\lim}\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ 　⇒ 証明
$3$\displaystyle{ {\lim}\limits_{ x\rightarrow a }cf $x$ }$ $3$\displaystyle{ =c{\lim}\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ ( $3$\displaystyle{c}$ ：定数)　⇒ 証明
$3$\displaystyle{ {\lim}\limits_{ x\rightarrow a } \{ f $x$ g $x$ \} }$ $3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ \cdot {\lim}\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ 　⇒ 証明
$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }\frac{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ \hspace{2}}}$ ( $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ \neq 0}$ ) 　⇒ 証明

上記の性質を証明するには，ε-δ論法による極限の定義を使うことになるので，ε-δ論法による極限の定義を以下に述べる

■定義

$3$a$ の近くで定義された関数 $3$ f\left({x}\right)$ において，任意の正数 $3${\varepsilon}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって，

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- b }\right|< {\varepsilon}}$

となるならば，これを

$3$x\rightarrow a$ のとき $3$f\left({x}\right)\rightarrow b$ あるいは $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)=b}$

とかき， $3$b$ を $3$x\rightarrow a$ のときの極限値という

引用元：田島一郎，イプシロン・デルタ．共立出版，1978年，p2

●定義の解説

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ より， $3$x$ は $3$a$ に限りなく近づいた値も含まれることになる．このときでも $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- b }\right|< {\varepsilon}}$ が成り立たなければならない．また， $3${\varepsilon}$ は任意の正数なので， $3${\varepsilon}$ は $3$0$ に限りなく近い場合も含まれる．この場合， $3$f\left({x}\right)$ は限りなく $3$b$ に近づくことになる．

よって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- b }\right|< {\varepsilon}}$ となる

という表現と

$3$x\rightarrow a$ のとき $3$f\left({x}\right)\rightarrow b$ あるいは $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)=b}$

は，同じことである．

ホーム>>カテゴリー別分類>>その他>>関数の極限値の性質

最終更新日 2023年12月19日