関数の極限値の性質の証明

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ が存在するとき，次式が成り立つ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }\frac{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ \hspace{2}}}$ 　　( $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ \neq 0}$ )

■証明

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ が存在することより

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)=\alpha }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right)={\beta}}$

とする．言い換えると以下のようになる．

任意の正数 $3${\varepsilon}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- \alpha }\right|< {\varepsilon}}$ ， $3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|< {\varepsilon}}$ となる

ところで

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|< {\varepsilon}}$ となる

ことより

$3$\displaystyle{0< \left|{ x- a }\right|< {{\delta}}^{\prime }}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|< \frac{\hspace{2} \left|{{\beta}}\right| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ となる正の数 $3$\displaystyle{{{\delta}}^{\prime }}$ が存在する．

今回は，適当な正の数 $3${\delta}$ を選ぶとき， $3$\displaystyle{{{\delta}}^{\prime }}$ を選ぶことにする．

この場合

$3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right) }\right|=\left|{ g\left({x}\right)- {\beta}+{\beta} }\right|}$ $3$\displaystyle{=\left|{ {\beta}+\left({ g\left({x}\right)- {\beta} }\right) }\right|}$ $3$\displaystyle{\geq \left|{{\beta}}\right|- \left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|}$ $3$\displaystyle{> \left|{{\beta}}\right|- \frac{\hspace{2} \left|{{\beta}}\right| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left|{{\beta}}\right| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(1)

となる．

上記前提の下で

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2} f\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} g\left({x}\right) \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}} }\right|=\left|{ \frac{\hspace{2} {\beta}f\left({x}\right)- \alpha g\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {\beta}g\left({x}\right) \hspace{2}} }\right|}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left|{ {\beta}f\left({x}\right)- \alpha {\beta}+\alpha {\beta}- \alpha g\left({x}\right) }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ {\beta}g\left({x}\right) }\right| \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left|{ {\beta}\left({ f\left({x}\right)- \alpha }\right)- \alpha \left({ g\left({x}\right)- {\beta} }\right) }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ {\beta}g\left({x}\right) }\right| \hspace{2}}}$

三角不等式の関係より

$3$\displaystyle{\leq \frac{\hspace{2} \left|{ {\beta}\left({ f\left({x}\right)- \alpha }\right) }\right|+\left|{ \alpha \left({ g\left({x}\right)- {\beta} }\right) }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ {\beta}g\left({x}\right) }\right| \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left|{{\beta}}\right|\left|{ f\left({x}\right)- \alpha }\right|+\left|{\alpha }\right|\left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{{\beta}}\right|\left|{ g\left({x}\right) }\right| \hspace{2}}}$

(1)の関係を用いると

$3$\displaystyle{< \frac{\hspace{2} \left|{{\beta}}\right|{\varepsilon}+\left|{\alpha }\right|{\varepsilon} \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{{\beta}}\right|\frac{\hspace{2} \left|{{\beta}}\right| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\left({ \left|{{\beta}}\right|+\left|{\alpha }\right| }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left|{{\beta}}\right| }^{2} \hspace{2}}{\varepsilon}}$ 　･･････(2)

となる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2\left({ \left|{{\beta}}\right|+\left|{\alpha }\right| }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left|{{\beta}}\right| }^{2} \hspace{2}}{\varepsilon}={{\varepsilon}}^{\prime }}$ とおくと，(2)は

となる． $3$\alpha$ ， $3${\beta}$ は有限な値， $3${\varepsilon}$ は任意の正数より， $3${{\varepsilon}}^{\prime }$ も任意の正数とみなすことができる．

整理すると

任意の正数 $3$\displaystyle{{{\varepsilon}}^{\prime }}$ に対して，正の数 $3${{\delta}}^{\prime }$ があって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {{\delta}}^{\prime }$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2} f\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} g\left({x}\right) \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}} }\right|< {{\varepsilon}}^{\prime }}$ となる

すなわち

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }\frac{\hspace{2} f\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} g\left({x}\right) \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right) \hspace{2}}}$

が成り立つ．

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最終更新日 2023年12月20日