関数の極限値の性質の証明（定数倍の極限）

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ が存在し， $3$\displaystyle{c}$ が定数のとき，次式が成り立つ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }cf $x$ =c{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$

■証明

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ が存在することより

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)=\alpha }$

とする．言い換えると以下のようになる．

任意の正数 $3${\varepsilon}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- \alpha }\right|< {\varepsilon}}$ となる

上記前提の下で

$3$\displaystyle{\left|{ cf\left({x}\right)- c\alpha }\right|}$ $3$\displaystyle{=\left|{c}\right|\left|{ f\left({x}\right)- \alpha }\right|}$ $3$\displaystyle{< \left|{c}\right|{\varepsilon}}$ 　･･････(1)

となる．

$3$\displaystyle{\left|{c}\right|{\varepsilon}={{\varepsilon}}^{\prime }}$ とおくと，(1)は

$3$\displaystyle{\left|{ cf\left({x}\right)- c\alpha }\right|< {{\varepsilon}}^{\prime }}$

となる． $3$c$ は定数， $3${\varepsilon}$ は任意の正数より， $3${{\varepsilon}}^{\prime }$ も任意の正数とみなすことができる．

整理すると

任意の正数 $3$\displaystyle{{{\varepsilon}}^{\prime }}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ cf\left({x}\right)- c\alpha }\right|< {{\varepsilon}}^{\prime }}$ となる

すなわち

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }cf\left({x}\right)=c\alpha =c{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)}$

が成り立つ．

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最終更新日 2023年12月20日