関数の極限値の性質の証明（和の極限）

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ が存在するとき，次式が成り立つ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a } \{ f $x$ +g $x$ \} }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ +{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$

■証明

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ が存在することより

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)=\alpha }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right)={\beta}}$

とする．言い換えると以下のようになる．

任意の正数 $3${\varepsilon}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- \alpha }\right|< {\varepsilon}}$ ， $3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|< {\varepsilon}}$ となる

上記前提の下で

$3$\displaystyle{\left|{ \left{{ f\left({x}\right)+g\left({x}\right) }\right}- \left({ \alpha +{\beta} }\right) }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ \left{{ f\left({x}\right)- \alpha }\right}+\left{{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right} }\right|}$

三角不等式の関係より

$3$\displaystyle{≦\left|{ f\left({x}\right)- \alpha }\right|+\left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{< 2{\varepsilon}}$ 　･･････(1)

となる．

$3$\displaystyle{2{\varepsilon}={{\varepsilon}}^{\prime }}$ とおくと，(1)は

$3$\displaystyle{\left|{ \left{{ f\left({x}\right)+g\left({x}\right) }\right}- \left({ \alpha +{\beta} }\right) }\right|< {{\varepsilon}}^{\prime }}$

となる． $3${\varepsilon}$ は任意の正数より， $3${{\varepsilon}}^{\prime }$ も任意の正数とみなすことができる．

整理すると

任意の正数 $3$\displaystyle{{{\varepsilon}}^{\prime }}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ \left{{ f\left({x}\right)+g\left({x}\right) }\right}- \left({ \alpha +{\beta} }\right) }\right|< {{\varepsilon}}^{\prime }}$ となる

すなわち

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }\left{{ f\left({x}\right)+g\left({x}\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\alpha +{\beta}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)+{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right)}$

が成り立つ．

ホーム>>カテゴリー別分類>>その他>>関数の極限値の性質>>関数の極限値の性質の証明（和の極限）

最終更新日 2024年1月29日