関数の極限値の性質の証明（積の極限）

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ が存在するとき，次式が成り立つ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a } \{ f $x$ g $x$ \} ={ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ \cdot { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$

■証明

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g $x$ }$ が存在することより

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)=\alpha }$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right)={\beta}}$

とする．言い換えると以下のようになる．

任意の正数 $3${\varepsilon}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)- \alpha }\right|< {\varepsilon}}$ ， $3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|< {\varepsilon}}$ となる

上記前提の下で

$3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)g\left({x}\right)- \alpha {\beta} }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ f\left({x}\right)g\left({x}\right)- \alpha g\left({x}\right)+\alpha g\left({x}\right)- \alpha {\beta} }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ \left({ f\left({x}\right)- \alpha }\right)g\left({x}\right)+\alpha \left({ g\left({x}\right)- {\beta} }\right) }\right|}$

三角不等式の関係より

$3$\displaystyle{\leq \left|{ \left({ f\left({x}\right)- \alpha }\right)g\left({x}\right) }\right|+\left|{ \alpha \left({ g\left({x}\right)- {\beta} }\right) }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ g\left({x}\right) }\right|\left|{ f\left({x}\right)- \alpha }\right|+\left|{\alpha }\right|\left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left{{ \left|{ g\left({x}\right) }\right|+\left|{\alpha }\right| }\right}{\varepsilon}}$

$3$\displaystyle{< \left|{ g\left({x}\right) }\right|{\varepsilon}+\left|{\alpha }\right|{\varepsilon}}$

ここで．三角不等式の(6)の式の関係より

$3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right) }\right|- \left|{{\beta}}\right|\leq \left|{ g\left({x}\right)- {\beta} }\right|\leq {\varepsilon}}$

よって

$3$\displaystyle{\left|{ g\left({x}\right) }\right|\leq {\varepsilon}+\left|{{\beta}}\right|}$

$3$\displaystyle{\leq \left{{ {\varepsilon}+\left|{{\beta}}\right|+\left|{\alpha }\right| }\right}{\varepsilon}}$ 　･･････(1)

となる．

$3$\displaystyle{\left{{ {\varepsilon}+\left|{{\beta}}\right|+\left|{\alpha }\right| }\right}{\varepsilon}={{\varepsilon}}^{\prime }}$ とおくと，(1)は

$3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)g\left({x}\right)- \alpha {\beta} }\right|< {{\varepsilon}}^{\prime }}$

となる． $3$\alpha$ ， $3${\beta}$ は有限な値， $3${\varepsilon}$ は任意の正数より， $3${{\varepsilon}}^{\prime }$ も任意の正数とみなすことができる．

整理すると

任意の正数 $3$\displaystyle{{{\varepsilon}}^{\prime }}$ に対して，適当な正の数 $3${\delta}$ があって

$3$0< \left|{ x- a }\right|< {\delta}$ のすべての $3$x$ について $3$\displaystyle{\left|{ f\left({x}\right)g\left({x}\right)- \alpha {\beta} }\right|< {{\varepsilon}}^{\prime }}$ となる

すなわち

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }\left{{ f\left({x}\right)g\left({x}\right) }\right}=\alpha {\beta}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)\cdot { \lim }\limits_{ x\rightarrow a }g\left({x}\right)}$

が成り立つ．

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最終更新日 2023年12月20日