定積分と面積

定積分 $3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx }$ は，関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ の曲線と軸で挟まれた領域で，区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ の面積を表す．ただし，区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で $3$\displaystyle{ f $x$ \geq 0 }$ とする．

■解説

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ の曲線と $3$x$ 軸で挟まれた領域で，区間 $3$\displaystyle{ \[ \hspace{1}{x}_{0},x \] }$ の面積を $3$\displaystyle{ S $x$ }$ とする．ただし，区間 $3$\displaystyle{ \[ \hspace{1}{x}_{0},x \] }$ で $3$\displaystyle{ f $x$ \geq 0 }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{0}< a< x< b }$ とする．

$3$x$ が $3$x$ から $3$\displaystyle{ x+{\Delta}x }$ に増加したときの $3$\displaystyle{ S $x$ }$ の増加量を $3$\displaystyle{ {\Delta}S }$ とすると

$3$\displaystyle{ S $ x+{\Delta}x $ - S $x$ ={\Delta}S }$

と表すことができる．拡大図より， $3$\displaystyle{ {\Delta}S={\Delta}x\cdot f $t$ }$ となる $3$t$ が存在することがわかる．この関係は $3$\displaystyle{ {\Delta}x< 0 }$ の時も成り立つ． $3$ {\Delta}x\rightarrow 0$ のとき， $3$\displaystyle{ t\rightarrow x }$ ， $3$\displaystyle{ f $t$ \rightarrow f $x$ }$ となることから

$3$\displaystyle{ {\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} S $ x+ {\Delta}x $ - S $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}S \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}x\cdot f $t$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}=f $x$ }$

となり， $3$\displaystyle{ S $x$ }$ は $3$\displaystyle{ f $x$ }$ 不定積分であることが解る．
よって，定積分の定義より

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx =S $b$ - S $a$ }$

と表される．すなわち， $3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx }$ は，関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ の曲線と $3$x$ 軸で挟まれた領域で，区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ の面積となる．

■参考

定積分を，微小面積を足し合わせたものであるという考え方がある．この考え方は物理現象等を理解するときに非常に大切である．以下に簡単に説明する．（和の極限としての定積分の定義を参照のこと）

まず，区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ を $3$n$ 等分して $3$n$ 個の長方形を考える．（下図の場合は $3$\displaystyle{ n=7 }$ である．また単純化するために等分割している．）

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\hspace{1}{S}_{1}=f $ \hspace{1}{x}_{1} $ \cdot {\Delta}x& \vspace{6}\\ \hspace{1}{S}_{2}=f $ \hspace{1}{x}_{2} $ \cdot {\Delta}x& \vspace{6}\\ \hspace{1}{S}_{3}=f $ \hspace{1}{x}_{3} $ \cdot {\Delta}x& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{S}_{n}=f $ \hspace{1}{x}_{n} $ \cdot {\Delta}x& \vspace{6}\\ \end{array}}$

ただし

$3$\displaystyle{ {\Delta}x=\frac{\hspace{2} b- a \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}, \hspace{5} \hspace{1}{x}_{k}=a+ $ k- 1 $ \cdot {\Delta}x }$ $3$\displaystyle{ $ k=1,2,3,\cdots ,n $ }$

$3$n$ 個の長方形の面積の総和を $3$\displaystyle{{S}^{\prime }}$ とすると

$3$\displaystyle{ {S}^{\prime }=\hspace{1}{S}_{1}+\hspace{1}{S}_{2}+\hspace{1}{S}_{3}+\cdots +\hspace{1}{S}_{n} }$ $3$\displaystyle{ ={\displaystyle{\sum }}\limits_{ k=1 }^{n}f\left({ \hspace{1}{x}_{k} }\right)\cdot {\Delta}x }$

となる．下図より，分割数を増やすと $3$S\hspace{5}$ (ある区間の関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ と $3$x$ 軸で挟まれた面積)と $3$\displaystyle{{S}^{\prime }}$ の差が小さくなっているのが解る．

このことから， $3$\displaystyle{ n\rightarrow \infty }$ にすると $3$\displaystyle{ {S}^{\prime }\rightarrow S }$ となる．これを式で表すと

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} f $ \hspace{1}{x}_{k} $ \cdot {\Delta}x=S }$

ただし

$3$\displaystyle{ {\Delta}x=\frac{\hspace{2} b- a \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}, \hspace{5} \hspace{1}{x}_{k}=a+ $ k- 1 $ \cdot {\Delta}x }$ $3$\displaystyle{ $ k=1,2,3,\cdots ,n $ }$

となる．この面積 $3$S$ 値が定積分のことで

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} f $ \hspace{1}{x}_{k} $ \cdot {\Delta}x }$

ただし

$3$\displaystyle{ {\Delta}x=\frac{\hspace{2} b- a \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}, \hspace{5} \hspace{1}{x}_{k}=a+ $ k- 1 $ \cdot {\Delta}x }$ $3$\displaystyle{ $ k=1,2,3,\cdots ,n $ }$

である．

参考：区分求積法

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最終更新日： 2024年7月2日