積分の公式を使った問題(定積分)

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解答の右上に*の印がついているものは，解説動画があることを示す．

次の定積分を解きなさい．
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{1}^{2} $ {x}^{3}- 3{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} $ dx }$ ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{4} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 8x+3 \hspace{2}} dx }$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{2}^{4} {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }dx }$ ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }^{2} {8}^{x} dx }$ ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \sin $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \cos $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{\int _{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sec }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{\int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} } { \text{csc} }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{\int _{0}^{ \sqrt{3}- 1 } \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+1 $ }^{2}+3 \hspace{2}}dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{\int _{1}^{ \sqrt{2} } \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 4- 2{x}^{2} } \hspace{2}}dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{\int _{ - 3 }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+16 } \hspace{2}}dx }$ ⇒ 解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}} }dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{1}{ \left({ x\sqrt{ 1- {x}^{2} } }\right) }^{3}dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx } }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \sin x\cos xdx }}$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{1}^{e} x\log xdx } }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{1}^{3} \frac{\hspace{2} 4x \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}} }dx}$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{1} { 16 }^{x}dx }}$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} {x}^{2}{e}^{x} }dx}$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }dx}$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} { $ 1- {x}^{2} $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } \hspace{2}} }dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ - 3 }^{ - 4 } x{ $x+3$ }^{2} }dx}$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} \sqrt{ 4- {x}^{2} } }dx}$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} {x}^{2}{e}^{ {x}^{3} } }dx}$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ \sqrt{2} } {x}^{2}\sqrt{ 4- {x}^{2} } }dx}$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} \sqrt{ 1- {x}^{2} }dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{2}^{4} x\log xdx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } x\cos 2xdx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sin }^{7}xdx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sin }^{4}x{ \cos }^{2}xdx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{0}^{3} x{e}^{ 3x }dx }$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{2}^{5} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\log 2x \hspace{2}}dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \frac{\hspace{2} \cos 2x \hspace{2}}{\hspace{2} 3+\sin 2x \hspace{2}}dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{0}^{6} \| \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 \| dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{1}^{3} {4}^{x} dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{3}^{7} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 1 \hspace{2}} dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2} {x}^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} dx }$
  ⇒解答*
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{1}^{2} 2dx }$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{1}^{2} 2xdx }$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{ \int _{1}^{4} {x}^{2} dx }$
  ⇒解答
- (*) $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{1}^{4} x{e}^{ 3x }dx } }$
  ⇒解答
次の曲線,直線, 軸で囲まれた面積を求めよ.
- (**) $3$\displaystyle{ y={x}^{2}- 2x- 3 }$ と $3$\displaystyle{ x }$ 軸 ⇒解答*
- (**) $3$\displaystyle{ y={x}^{2}- x- 1 }$ と $3$\displaystyle{ y=2x+3 }$ ⇒解答*
- (**) $3$\displaystyle{ y=3{x}^{2}+ 1 }$ ， $3$\displaystyle{ x=1 }$ ， $3$\displaystyle{ x=3 }$ ⇒解答
- (**) $3$\displaystyle{ y={x}^{2}- 2x- 1 }$ と $3$\displaystyle{ y=- {x}^{2}+x+8 }$ ⇒解答*
- (**) $3$\displaystyle{ { y=x }^{2}+4x- 3 }$ と $3$\displaystyle{ { y=- x }^{2}+2x+1 }$ ⇒解答
- (**) $3$\displaystyle{ { y=x }^{2}+4x- 3 }$ と $3$\displaystyle{ { y=- x }^{2}+2x+1 }$ ⇒解答
- (**) $3$\displaystyle{ y=- {x}^{4}+ 2{x}^{3} }$ ， $3$\displaystyle{ x }$ 軸， $3$\displaystyle{ x=1 }$ ，ただし， $3$\displaystyle{ x\geq 1 }$ とする． ⇒解答*
次の計算を区分求積法を用いて求めよ．
1. 曲線 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=2{x}^{2} }$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸と直線 $3$\displaystyle{x=0}$ ， $3$\displaystyle{x=1}$ で囲まれた面積を左端区分求積法より求めよ．　⇒解答*
2. 曲線 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right)={x}^{2} }$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸と直線 $3$\displaystyle{x=1}$ ， $3$\displaystyle{x=3}$ で囲まれた面積を右端区分求積法より求めよ．　⇒解答*
次の平面図形の重心を求めなさい．
1. 直線 $3$\displaystyle{y=x}$ と曲線 $3$\displaystyle{y={x}^{2}- 4x+4}$ で囲まれた図形の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ ， $3$\displaystyle{y}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ とする．　⇒解答
2. 直線 $3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }$ と直線 $3$x=2$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸で囲まれた図形　⇒解答
3. 曲線 $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}}$ と直線 $3$x=2$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸に囲まれた図形　⇒解答
4. 直線 $3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x }$ と直線 $3$y=2$ と $3$\displaystyle{y}$ 軸に囲まれた図形　⇒解答
5. 曲線 $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}}$ と直線 $3$y=3$ と $3$\displaystyle{y}$ 軸に囲まれた図形　⇒解答
6. 曲線 $3$\displaystyle{y=\sqrt{ 9- {x}^{2} }}$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸と $3$\displaystyle{y}$ 軸に囲まれた図形，ただし， $3$\displaystyle{ x\geq 0 }$ とする．⇒解答
7. 直線 $3$\displaystyle{y=x}$ と曲線 $3$\displaystyle{y={x}^{2}- 4x+4}$ で囲まれた図形　⇒解答
次の立体の重心を求めなさい．
1. 直線 $3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }$ と直線 $3$x=2$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸で囲まれた図形を $3$\displaystyle{}$ 軸の周りに $3$\displaystyle{1}$ 回転してできる回転体　⇒解答
2. 図のような底面の半径が $3$\displaystyle{R}$ ，高さが $3$\displaystyle{H}$ の円錐　⇒解答
3. 図のような底面の面積が $3$\displaystyle{A}$ ，高さが $3$\displaystyle{H}$ とする角錐　⇒解答
4. 図のような半径 $3$R$ の半球　⇒解答
次の曲線の長さを求めなさい．
1. 曲線 $3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} }$ $3$\displaystyle{ $ 0\leq x\leq 1 $ }$ の長さ　⇒解答*
次の問題を解きなさい．
1. $3$\displaystyle{y=x+\sqrt{ {x}^{2}+5 }}$ の逆関数を $3$\displaystyle{y=f$x$}$ とする．　⇒解答
  　[1] $3$\displaystyle{f$x$}$ を求めよ．
  
  　[2]定積分 $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ \sqrt{5} }^{5} f$x$dx }}$ を求めよ．
2. $3$\displaystyle{ y=x{e}^{x}\text{ }$x\geq 0$ }$
  TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
  の逆関数を $3$\displaystyle{y=f$x$}$ とおく. 定積分 $3$\displaystyle{ \int _{0}^{e} f$x$dx }$ を求めよ．　⇒解答
3. 質量 $3$\displaystyle{M}$ の物体があり，図のようにばねでつながれている．物体を原点から点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ までゆっくりと動かしたとき，弾性力のした仕事を求めよ．ただし，ばね定数は $3$\displaystyle{k}$ ，ばねの自然長は $3$\displaystyle{l}$ とし，物体はばねの弾性力により持ち上がることはないとする． ⇒解答

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最終更新日： 2026年3月17日