積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線 $3$\displaystyle{ y={x}^{2}- 2x- 3 }$ と $3$\displaystyle{ x }$ 軸で囲まれた面積を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}32\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$

■解説

$3$\displaystyle{ y={x}^{2}- 2x- 3 }$ と $3$\displaystyle{ x }$ 軸 $3$\displaystyle{ $y=0$ }$ の交点の $3$\displaystyle{ x }$ 座標を求める．

$3$\displaystyle{ {x}^{2}- 2x- 3=0 }$

$3$\displaystyle{ $x+1$$x- 3$=0 }$

$3$\displaystyle{ x=- 1\text{,}3 }$

$3$\displaystyle{ y={x}^{2}- 2x- 3 }$ と $3$x$ 軸で囲まれた面積は図の赤色の部分になる．

求める面積 $3$S$ は，面積の計算より

$3$\displaystyle{ S= {\int }\limits_{ - 1 }^{3} \left{{ 0- ${x}^{2}- 2x- 3$ }\right}dx }$

$3$\displaystyle{ = \left[{ - \left({ \frac{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- {x}^{2}- 3x }\right) }\right] _{ - 1 }^{3} }$

$3$\displaystyle{ =- \left[{ \left({ \frac{\hspace{2}{3}^{3}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- {3}^{2}- 3\cdot 3 }\right) }$ $3$\displaystyle{ \left.{ - \left{{ \frac{\hspace{2}{ $- 1$ }^{3}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- { $- 1$ }^{2}- 3\cdot $- 1$ }\right} }\right\] }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}32\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$

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学生スタッフ作成
最終更新日：2025年11月7日