積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線 $3$\displaystyle{ y=- {x}^{4}+ 2{x}^{3} }$ ，直線 $3$\displaystyle{ x=1 }$ ， $3$\displaystyle{ x }$ 軸で囲まれた面積を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{ x\geq 1 }$ とする．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}13\hspace{2}}{\hspace{2}10\hspace{2}} }$

■ヒント

曲線と $3$\displaystyle{ x }$ 軸で囲まれた面積の求め方

1．曲線のグラフを書く．

2．グラフと $3$\displaystyle{ x }$ 軸との共有点と上下関係を調べて面積を求める．

■解説

$3$\displaystyle{ y=- {x}^{4}+ 2{x}^{3} }$

$3$\displaystyle{ =- {x}^{3}$x- 2$ }$

$3$\displaystyle{ y=0 }$ とすると， $3$\displaystyle{ x=0,2 }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=- 4{x}^{3}+ 6{x}^{2} }$

$3$\displaystyle{ =- 2{x}^{2}$2x- 3$ }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=0 }$ とすると， $3$\displaystyle{ x=0,\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ y=- {x}^{4}+ 2{x}^{3} }$ の増減表は次のようになる．

$3$x$	…	$3$\displaystyle{ 0 }$	…	$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$	…	$3$\displaystyle{ 2 }$	…
$3$\displaystyle{ {y}^{\prime } }$	+	0	+	0	-	-	-
$3$\displaystyle{ y }$	$3$\displaystyle{\nearrow }$	0	$3$\displaystyle{\nearrow }$	極大	$3$\displaystyle{\searrow }$	0	$3$\displaystyle{\searrow }$

よって， $3$\displaystyle{ y=- {x}^{4}+ 2{x}^{3} }$ ， $3$\displaystyle{ x }$ 軸， $3$\displaystyle{ x=1 }$ に囲まれた面積，ただし， $3$\displaystyle{ x\geq 1 }$ ，は図のようになる．

図より， $3$\displaystyle{ 1\leq x\leq 2 }$ のとき $3$\displaystyle{ y\geq 0 }$ であるから，求める面積 $3$S$ は面積の計算より

$3$\displaystyle{ S= {\int }\limits_{1}^{2} $- {x}^{4}+2{x}^{3}$dx }$

$3$\displaystyle{ =\left[{ - \frac{\hspace{2}{x}^{5}\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{x}^{4}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right]_{1}^{2} }$

$3$\displaystyle{ =\left({ - \frac{\hspace{2} {2}^{5} \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {2}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)- \left({ - \frac{\hspace{2} {1}^{5} \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {1}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}13\hspace{2}}{\hspace{2}10\hspace{2}} }$

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最終更新日：2025年11月7日