増減表

増減表とは，関数 $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ のグラフの概略を描くために， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ の符号を求めて関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ の増加および減少の様子を表にまとめたものである．

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$a$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$b$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$c$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$	+	$3$\displaystyle{0}$	-	$3$\displaystyle{0}$	+	$3$\displaystyle{0}$	-
$3$\displaystyle{f $x$ }$	$3$\displaystyle{\nearrow }$	$3$\displaystyle{f $a$ }$ 極大値	$3$\displaystyle{\searrow }$	$3$\displaystyle{f $b$ }$ 極小値	$3$\displaystyle{\nearrow }$	$3$\displaystyle{f $c$ }$ 極大値	$3$\displaystyle{\searrow }$

上記の増減表からグラフの概略を描くと，下の図のようになる．

第2次導関数まで使った増減表⇒変曲点とグラフの凹凸を参照

■増減表の書き方

関数 $3$ f $x$ ={x}^{3}+3{x}^{2}- 9x+5$ を例に増減表の一般的な書き方を説明する．

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =0}$ を満たす $3$x$ の値を求める．（ $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =0}$ を満たす $3$x$ の値で関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は極大あるいは極小になる．）
$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} {f}^{\prime } $x$ & =3{x}^{2}+6x- 9 & \vspace{6}\\ & =3 $ {x}^{2}+2x- 3 $ & \vspace{6}\\ & =3 $ x+3 $ $ x- 1 $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$
よって， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =0}$ を満たす $3$x$ の値は， $3$\displaystyle{x=- 3,1}$ である．求めた範囲で増減表を作成すると下のようになる．

$3$x$ $3$\displaystyle{\cdots }$ $3$\displaystyle{- 3}$ $3$\displaystyle{\cdots }$ $3$1$ $3$\displaystyle{\cdots }$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ $3$\displaystyle{0}$ $3$\displaystyle{0}$

$3$\displaystyle{f $x$ }$
次に， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ の符号と書き加え， $3$\displaystyle{f $x$ }$ の増減を矢印で示す．（ $3$\displaystyle{f $x$ > 0}$ では関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は増加し， $3$\displaystyle{f $x$ < 0}$ では関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は減少する．）

$3$x$ $3$\displaystyle{\cdots }$ $3$\displaystyle{- 3}$ $3$\displaystyle{\cdots }$ $3$1$ $3$\displaystyle{\cdots }$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ + $3$\displaystyle{0}$ - $3$\displaystyle{0}$ +

$3$\displaystyle{f $x$ }$ $3$\displaystyle{\nearrow }$ $3$\displaystyle{\searrow }$ $3$\displaystyle{\nearrow }$

最後に極値の値を求める．

$3$\displaystyle{ f\left({ - 3 }\right) }$ $3$\displaystyle{ ={ \left({ - 3 }\right) }^{3}+3\cdot { \left({ - 3 }\right) }^{2}- 9\cdot \left({ - 3 }\right)+5 }$ $3$\displaystyle{ =32 }$

$3$\displaystyle{ f\left({1}\right) }$ $3$\displaystyle{ ={ \left({1}\right) }^{3}+3\cdot { \left({1}\right) }^{2}- 9\cdot \left({1}\right)+5 }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$- 3$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$1$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$	+	$3$\displaystyle{0}$	-	$3$\displaystyle{0}$	+
$3$\displaystyle{f $x$ }$	$3$\displaystyle{\nearrow }$	$3$\displaystyle{32}$	$3$\displaystyle{\searrow }$	$3$\displaystyle{0}$	$3$\displaystyle{\nearrow }$

下に関数 $3$ f $x$ ={x}^{3}+3{x}^{2}- 9x+5$ のグラフを示す．上の増減表と比較してみよう．

$グラフ$

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最終更新日： 2024年6月14日

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$\displaystyle{- 3}$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$1$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } \(x\) }$		$3$\displaystyle{0}$		$3$\displaystyle{0}$
$3$\displaystyle{f \(x\) }$