高次導関数(Higher Derivatives)

関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が区間 $3$\displaystyle{I}$ で微分可能であれば導関数 $3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)}$ が存在する．導関数 $3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)}$ は関数 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ と同様に $3$\displaystyle{x}$ の関数であるので微分可能性を検討することができる．区間 $3$\displaystyle{I}$ で導関数 $3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)}$ が微分可能ならば，関数 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ は，区間 $3$\displaystyle{I}$ で2回微分可能であるといい，関数 $3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)}$ の導関数のことを第2次導関数といい $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }\left({x}\right)}$ であらわす．同様に考え，関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が区間 $3$\displaystyle{I}$ で $3$\displaystyle{n}$ 回微分可能であれば，第 $3$\displaystyle{n}$ 次導関数が存在する．このような2次以上の導関数のことを高次導関数(Higher Derivatives)という．

■高次導関数の表記の仕方

高次の導関数は，表記の仕方が複数通りある．その主なものを以下に示す．

関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が $3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)}$ となっている時

第2次導関数

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }\left({x}\right)}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}f \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}f\left({x}\right)}$

第3次導関数

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime\prime }\left({x}\right)}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{3}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{3} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{3}f \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{3} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{3} \hspace{2}}f\left({x}\right)}$

第4次導関数

$3$\displaystyle{{f}^{ \left({4}\right) }\left({x}\right)}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{ \left({4}\right) }}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{4}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{4} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{4}f \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{4} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{4} \hspace{2}}f\left({x}\right)}$

4次以上の導関数では，ダッシュ「´」ではなく()の中に数字を書いたものを $3$\displaystyle{y}$ ， $3$\displaystyle{f}$ の右上につけて導関数の次数を表す．

第 $3$\displaystyle{n}$ 次導関数

$3$\displaystyle{{f}^{ \left({n}\right) }\left({x}\right)}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{ \left({n}\right) }}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{n}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{n} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{n}f \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{n} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{n} \hspace{2}}f\left({x}\right)}$

■高次の導関数が使われる場面

2次導関数は，関数の凹凸や変曲点を調べるのに使われる．高次の導関数は，テイラー展開，マクローリン展開などで使われる．

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最終更新日：2025年4月22日