微分可能

関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ について，極限

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ a+h $ - f $a$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

が存在すれば， $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は $3$\displaystyle{x=a}$ で微分可能であるという．区間Iの各点で微分可能ならば， $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は区間Iで微分可能であるという．この極限値のことを，関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ の $3$\displaystyle{x=a}$ における微分係数といい $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $a$ }$ で表す．

$3$\displaystyle{x=a}$ で微分可能であるとき， $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は $3$\displaystyle{x=a}$ で連続である．

【証明】

$3$\displaystyle{f\left({ a+h }\right)- f\left({a}\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} f\left({ a+h }\right)- f\left({a}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\cdot h}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\left{{ f\left({ a+h }\right)- f\left({a}\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f\left({ a+h }\right)- f\left({a}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\cdot h}$

$3$\displaystyle{={f}^{\prime }\left({a}\right)\cdot 0}$ $3$\displaystyle{=0}$

よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }f\left({ a+h }\right)=f\left({a}\right)}$

$3$\displaystyle{a+h=x}$ とおくと， $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ のとき， $3$\displaystyle{x\rightarrow a}$ となる．したがって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow a }f\left({x}\right)=f\left({a}\right)}$

となり， $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は $3$\displaystyle{x=a}$ で連続である．

■参考

$3$\displaystyle{y= \|x\| }$ は $3$\displaystyle{x=0}$ で微分可能ではない．なぜなら，

$3$x$ をプラス側からゼロに近づけた場合，

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow +0 }\frac{\hspace{2} \| 0+h \| - \|0\| \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow +0 }\frac{\hspace{2} $ 0+h $ - 0 \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}=1}$

$3$x$ をマイナス側からゼロに近づけた場合，

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow - 0 }\frac{\hspace{2} \| 0+h \| - \|0\| \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow +0 }\frac{\hspace{2} - $ 0+h $ - 0 \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}=- 1}$

となり， $3$\displaystyle{x=0}$ において $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ 0+h $ - f $0$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ の値が1つに定まらないからである．

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最終更新日： 2026年6月13日