変曲点 (inflection point)

関数 $3$\displaystyle{y=f$x$}$ が $3$\displaystyle{x}$ のある区間で2次導関数 $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }$x$}$ をもち，この関数のグラフに凹凸があるとき，グラフの形が下に凸から上に凸（もしくは，上に凸から下に凸）に変わる点を変曲点という．よって，変曲点では $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }$x$=0}$ となっている．

「 $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }$c$=0}$ となる点 $3$\displaystyle{x=c}$ の前後で $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }$x$}$ の符号が反転していれば，点 $3$\displaystyle{$c\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}f\(c$\)}$ は変曲点である．」

単に $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }$c$=0}$ であっても，点 $3$\displaystyle{$c\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}f\(c$\)}$ が変曲点であるとは限らない．変曲点かどうかは $3$\displaystyle{x=c}$ の前後で $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime }$x$}$ の符号が正から負，あるいは負から正に変化しているか調べる必要がある．

■第2次導関数まで使った増減表

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$\alpha$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$c$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\beta}$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3${f}^{\prime }\left({x}\right)$	$3$+$	$3$\displaystyle{0}$	$3$-$	$3$-$	$3$-$	$3$\displaystyle{0}$	$3$+$
$3${f}^{\prime\prime }\left({x}\right)$	$3$-$	$3$-$	$3$-$	$3$\displaystyle{0}$	$3$+$	$3$+$	$3$+$
$3$f\left({x}\right)$		極大値		$3$ f\left({c}\right)$		極小値

第2次導関数の増減表では，グラフの曲線の曲がり方も含めた矢印，，，を使う．

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最終更新日：2025年7月1日