積分の問題(応用)

■問題

の逆関数を とする．

（１） を求めよ．

（２）定積分 を求めよ．

■答

（１）　

（２）

■解説

（１）を について解く．

ここで， ＞ に注意する．

両辺を2乗すると，

について解くと，

･･････(1)

ここで，の定義域を考える．

のグラフを以下に示す．

定義域：実数全体　（ちなみに値域は，）

逆関数を求めるために(1)式のとを入れ替えると，

逆関数 のグラフを以下に示す．

逆関数を求める際にとを入れ替えているので，逆関数の定義域は元の関数の値域になる．

よって，逆関数の定義域は となる．

（ちなみに値域は，実数全体）

よって， の逆関数は，(1)のとを入れ替えてとなる(青線のグラフ)．

（２）（１）より，定積分を求めると，

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最終更新日： 2023年11月24日