定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{2}^{4} {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{2 $ {e}^{2}- e $ }$

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {e}^{x}dx={e}^{x}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{\int {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{\int {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }dx }$ $3$\displaystyle{=2{e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }+C}$

（これが $3$\displaystyle{ {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } }$ の原始関数である．この積分の計算は， $3$\displaystyle{\int {e}^{ 3x }dx }$ の計算が参考になる．）

よって

$3$\displaystyle{ \int _{2}^{4} {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }dx }$ $3$\displaystyle{=2 \[ {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x } \] _{2}^{4}}$ $3$\displaystyle{=2 $ {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot 4 }- {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot 2 } $ }$ $3$\displaystyle{=2 $ {e}^{2}- e $ }$

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最終更新日： 2025年6月9日