不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．　

$3$\displaystyle{\int {e}^{ 3x }dx }$ 　

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3x }+C}$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{ \int {e}^{x}dx={e}^{x}+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\int {e}^{ 3x }dx }$ 　

$3$\displaystyle{3x=t}$ とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}t\rightarrow \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　∴ $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}dt}$ 　

与式 $3$\displaystyle{=\int {e}^{t}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}dt}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\int {e}^{t}dt }$ 　

（ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{t}+C}$ 　

（公式にあてはた）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3x }+C}$

（最初に， $3$\displaystyle{3x=t}$ と置換したので，元に戻した）

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3x }+C}$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ {e}^{ 3x } }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日