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置換積分法

$3$x=g \(t\)$ の関係に置換したとき

【不定積分】

$3$\displaystyle{ \int f \(x\) dx =\int f \(x\) \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt }$ $3$\displaystyle{ =\int f \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$

【定積分】

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f \(x\) dx =\int _{{\alpha}}^{{\beta}} f \(x\) \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt }$ $3$\displaystyle{ =\int _{{\alpha}}^{{\beta}} f \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$

（ただし， $3$g \({\alpha}\) =a$ ， $3$g \({\beta}\) =b$ ）

となる．

■置換方法の例

　ここを参照のこと．

置換積分の理解に役立つ計算例

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{1}^{2}2dx=\displaystyle{\int }_{2}^{4}dt}$ ⇒ 計算の詳細
$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{1}^{2}2xdx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{\int }_{2}^{4}tdt=\displaystyle{\int }_{1}^{4}dt}$ ⇒ 計算の詳細
$3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{1}^{4}{x}^{2}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{\int }_{1}^{ 16 }{t}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dt }$ ⇒ 計算の詳細
$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1}\sqrt{ 1- {x}^{2} }dx}$ ⇒ 計算の詳細

■関連動画

■解説

置換積分の公式は合成関数の微分の公式に対応するものである．

関数 $3$\displaystyle{ f \(x\) }$ の原始関数の1つを $3$\displaystyle{ F \(x\) }$ とすると

$3$\displaystyle{{F}^{\prime } \(x\) =f \(x\) }$ 　　･･････(1)

$3$\displaystyle{\int f \(x\) dx=F \(x\) +C }$ （ $3$C$ ：積分定数）　　･･････(2)

の関係がある．

また， $3$\displaystyle{x=g \(t\) }$ の関係があると，関数 $3$\displaystyle{ F \(x\) }$ は

$3$\displaystyle{F \(x\) =F \( g \(t\) \) }$ 　　･･････(3)

となる． $3$\displaystyle{F \( g \(t\) \) }$ を変数 $3$t$ で微分すると，合成関数の微分より

$3$\displaystyle{{ \{ F \( g \(t\) \) \} }^{\prime }={F}^{\prime } \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) }$ 　　･･････(4)

両辺を変数 $3$t$ で積分すると

$3$\displaystyle{\int { \{ F \( g \(t\) \) \} }^{\prime }dt +C=\int {F}^{\prime } \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$ （積分定数 $3$C$ を左辺にまとめて入れている）

$3$\displaystyle{F \( g \(t\) \) +C=\int {F}^{\prime } \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$ 　　･･････(5)

$3$\displaystyle{g \(t\) =x}$ を(5)の左辺に適用すると

$3$\displaystyle{F \(x\) +C=\int {F}^{\prime } \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$ 　　･･････(6)

(1)，(2)を(6)に適用すると，

$3$\displaystyle{\int f \(x\) dx=\int f \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$

となり，置換積分の公式が得られる．

あるいは， $3$x$ が $3$t$ の関数であると考えると

$3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt}$

であるので，簡単に置換積分の公式が得られる．微分形式を参照のこと．

定積分において，積分範囲は $3$x$ が $3$\displaystyle{a\rightarrow b}$ に変化するとき， $3$t$ が $3$\displaystyle{\alpha \rightarrow {\beta}}$ に変化するので，積分範囲を変更する必要がある．

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最終更新日： 2026年1月13日