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number & formula	function	geometry	power & logarithm	vector	trigonometric function
complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

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応用分野：積分の計算手順，積分　1/(ax+b)，積分　1/(a^2+x^2)，知っていると便利な積分の公式，区分求積法の基本式，高次の三角関数の積分(2)，高次の三角関数の積分(1)，積分　1/sinx ，tan(x/2)=t とおく置換積分，根号を含む積分，積分　1/(cosx)^3，積分　logx ，積分　xlogx ，積分　logx /(x^2)，定数係数微分方程式　非同次項がe^(ax)のときの解の導出　xe^{(a-b1)x}の積分の計算，高次の三角関数の積分(3)，定積分の基本式(7)，定積分の基本式(8)，積分　1/cosx ，積分　1/(a^2-x^2)^(1/2)，補足資料２，部分積分法，変数分離形微分方程式，積分　1/(cosx)^4，積分　(logx )/x，置換積分法，置換方法の例，積分　1/(a^2+x^2)，微分形式，

置換積分法

$3$x=g \(t\)$ の関係に置換したとき

【不定積分】

$3$\displaystyle{ \int f \(x\) dx =\int f \(x\) \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt }$ $3$\displaystyle{ =\int f \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$

【定積分】

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f \(x\) dx =\int _{{\alpha}}^{{\beta}} f \(x\) \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt }$ $3$\displaystyle{ =\int _{{\alpha}}^{{\beta}} f \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$

（ただし， $3$g \({\alpha}\) =a$ ， $3$g \({\beta}\) =b$ ）

となる．

■置換方法の例

　ここを参照のこと．

■関連動画

■解説

置換積分の公式は合成関数の微分の公式に対応するものである．

関数 $3$\displaystyle{ f \(x\) }$ の原始関数の1つを $3$\displaystyle{ F \(x\) }$ とすると

$3$\displaystyle{{F}^{\prime } \(x\) =f \(x\) }$ 　　･･････(1)

$3$\displaystyle{\int f \(x\) dx=F \(x\) +C }$ （ $3$C$ ：積分定数）　　･･････(2)

の関係がある．

また， $3$\displaystyle{x=g \(t\) }$ の関係があると，関数 $3$\displaystyle{ F \(x\) }$ は

$3$\displaystyle{F \(x\) =F \( g \(t\) \) }$ 　　･･････(3)

となる． $3$\displaystyle{F \( g \(t\) \) }$ を変数 $3$t$ で微分すると，合成関数の微分より

$3$\displaystyle{{ \{ F \( g \(t\) \) \} }^{\prime }={F}^{\prime } \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) }$ 　　･･････(4)

両辺を変数 $3$t$ で積分すると

$3$\displaystyle{\int { \{ F \( g \(t\) \) \} }^{\prime }dt +C=\int {F}^{\prime } \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$ （積分定数 $3$C$ を左辺にまとめて入れている）

$3$\displaystyle{F \( g \(t\) \) +C=\int {F}^{\prime } \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$ 　　･･････(5)

$3$\displaystyle{g \(t\) =x}$ を(5)の左辺に適用すると

$3$\displaystyle{F \(x\) +C=\int {F}^{\prime } \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$ 　　･･････(6)

(1)，(2)を(6)に適用すると，

$3$\displaystyle{\int f \(x\) dx=\int f \( g \(t\) \) {g}^{\prime } \(t\) dt }$

となり，置換積分の公式が得られる．

あるいは， $3$x$ が $3$t$ の関数であると考えると

$3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt}$

であるので，簡単に置換積分の公式が得られる．微分形式を参照のこと．

定積分において，積分範囲は $3$x$ が $3$\displaystyle{a\rightarrow b}$ に変化するとき， $3$t$ が $3$\displaystyle{\alpha \rightarrow {\beta}}$ に変化するので，積分範囲を変更する必要がある．

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最終更新日： 2025年4月25日