放物線 と軸がなす2つの交点（解）が でかつ，積分範囲が の場合に利用する．（2次関数（放物線）と2次方程式については，関数を参照．）
とし，これを定積分の定義
にあてはめる．（ は の原始関数である．）
， については因数分解の公式を参照
より
，
として部分積分を行う．（その1の とは無関係である）
部分積分法の公式より
ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>定積分の基本式>>放物線の定積分
最終更新日： 2023年7月29日
%20%20%20%5c(%20x-%20{%5cbeta}%20%20%5c)%20%20dx%20%20=-%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}6%5chspace{2}}{%20%20%5c(%20{%5cbeta}-%20{%5calpha}%20%20%5c)%20%20%20%20}^{3}%20%20})
と
軸がなす2つの交点（解）が
でかつ，積分範囲が
の場合に利用する．（2次関数（放物線）と2次方程式については，関数を参照．）
%20%20=%20%5c(%20x-%20{%5calpha}%20%20%5c)%20%20%20%5c(%20x-%20{%5cbeta}%20%20%5c)%20%20})
とし，これを定積分の定義%20%20dx=%20%20%5c[%20F%20%5c(x%5c)%20%20%20%20%5c]%20%20%20%20_{a}^{b}=F%20%5c(b%5c)%20%20-%20F%20%5c(a%5c)%20%20%20%20})
%20%20})
は
%20%20})
の原始関数である．）%20%20%20%5c(%20x-%20{%5cbeta}%20%20%5c)%20%20dx%20%20})
%20%20x+{%5calpha}{%5cbeta}%20%20%5c}%20%20dx%20%20})
%20%20%5cint%20_{{%5calpha}}^{{%5cbeta}}%20xdx%20%20})
%20%20%5ccdot%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}%20%5c[%20{x}^{2}%20%20%5c]%20%20_{{%5calpha}}^{{%5cbeta}}})
%20%20-%20%20%5c(%20{%5calpha}+{%5cbeta}%20%20%5c)%20%20%5ccdot%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}%20%5c(%20{{%5cbeta}}^{2}-%20{{%5calpha}}^{2}%20%20%5c)%20%20})
%20%20})
%20%20%20%20})
，
%20%20})
については因数分解の公式を参照
%20%20%20%5c(%20-%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}6%5chspace{2}}{{%5cbeta}}^{2}+%5cfrac{%5chspace{2}2%5chspace{2}}{%5chspace{2}6%5chspace{2}}{%5calpha}{%5cbeta}-%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}6%5chspace{2}}{{%5calpha}}^{2}%20%20%5c)%20%20})
%20%20%20%5c(%20{{%5cbeta}}^{2}-%202{%5calpha}{%5cbeta}+{{%5calpha}}^{2}%20%20%5c)%20%20})
%20%20}^{3}})
%20%20%20%20}^{2}%20%20%5c}%20%20}^{%5cprime%20}=%20%5c(%20x-%20{%5calpha}%20%20%5c)%20%20})
より%20%20=%20%5c(%20x-%20{%5calpha}%20%20%5c)%20%20})
，
%20%20=%20%5c(%20x-%20{%5cbeta}%20%20%5c)%20%20})
とは無関係である）
%20%20%20%20}^{2}%20%20%5c}%20%20%20%20}^{%5cprime%20}%20%5c(%20x-%20{%5cbeta}%20%20%5c)%20%20dx%20%20})
%20%20%20%20}^{2}%20%5c(%20x-%20{%5cbeta}%20%20%5c)%20%20%20%20%5c]%20%20_{{%5calpha}}^{{%5cbeta}}})
%20%20%20%20}^{2}{%20%20%5c(%20x-%20{%5cbeta}%20%20%5c)%20%20%20%20}^{%5cprime%20}dx%20%20})
%20%20%20%20}^{3}%20%20%5c]%20%20_{{%5calpha}}^{{%5cbeta}}})
%20%20%20%20}^{3}-%20{%20%20%5c(%20{%5calpha}-%20{%5calpha}%20%20%5c)%20%20%20%20}^{3}%20%20%5c}%20%20})