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定積分の基本式

$3$\displaystyle{\int f \(x\) dx =F \(x\) }$ のとき（ $3$\displaystyle{F \(x\) }$ は $3$\displaystyle{f \(x\) }$ の原始関数の1である）
$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f \(x\) dx = \[ F \(x\) \] _{a}^{b}}$ $3$\displaystyle{=F \(b\) - F \(a\) }$ ⇒ここを参照
$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} cf \(x\) dx =c\int _{a}^{b} f \(x\) dx }$ （ただし， $3$c$ は定数）　　⇒導出計算
$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} \{ f \(x\) \pm g \(x\) \} dx }$ $3$\displaystyle{ =\int _{a}^{b} f \(x\) dx\pm \int _{a}^{b} g \(x\) dx }$ ⇒導出計算
$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f \(x\) dx }$ $3$\displaystyle{=\int _{a}^{c} f \(x\) dx +\int _{c}^{b} f \(x\) dx }$ ⇒導出計算
$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f \(x\) dx =- \int _{b}^{a} f \(x\) dx }$ ⇒導出計算
$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\int _{a}^{x} f \(t\) dt =f \(x\) }$ ⇒導出計算はここ
ポイント： $3$ f \(t\)$ の部分には $3$x$ を含んでいてはいけない．積分範囲に注意． $3$x$ は上端でなければならない．
$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\int _{x}^{ x+ b } f \(t\) dt }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \{ \int _{a}^{ x+ b } f \(t\) dt - \int _{a}^{x} f \(t\) dt \} }$ $3$\displaystyle{ =f \( x+ b \) - f \(x\) }$ ⇒導出計算
ポイント：変数 $3$x$ が上端，下端両方に含まれている場合．
$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{a} f \(x\) dx=2\int _{0}^{a} f \(x\) dx}$ （ $3$ f \(x\)$ ：偶関数）　　⇒導出計算
ポイント：積分範囲の変更に注目
$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{a} f \(x\) dx=0 }$ （ $3$ f \(x\)$ ：奇関数）　　⇒導出計算
$3$\displaystyle{\int _{0}^{{\pi}} \sin \( {\pi}- x \) dx= \int _{0}^{{\pi}} \sin xdx }$ （左記は一例）　　⇒導出計算
ポイント：周期関数の場合はその周期に着目して，計算の簡単化を図る．
$3$\displaystyle{\int _{{\alpha}}^{{\beta}} \( x- {\alpha} \) \( x- {\beta} \) dx }$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{ \( {\beta}- {\alpha} \) }^{3}}$ ⇒導出計算はここ

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最終更新日： 2026年2月10日