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定積分の基本式(8)　奇関数の場合

$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{a} f \(x\) dx=0}$ 　　( $3$\displaystyle{f \(x\) }$ :奇関数)

■導出

$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{a} f \(x\) dx}$ $3$\displaystyle{=\int _{ - a }^{0} f \(x\) dx+\int _{0}^{a} f \(x\) dx}$ 　　･･････(1)

右辺の第１項について， $3$\displaystyle{x=- t}$ とおき置換積分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=- 1}$ より， $3$\displaystyle{dx=- dt}$ 　 $3$\displaystyle{ \( x:- a\rightarrow 0,\text{\hspace{5}}t:a\rightarrow 0 \) }$ なので

$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{0} f \(x\) dx=\int _{a}^{0} f \( - t \) \cdot \( - 1 \) dt}$

$3$\displaystyle{=- \int _{a}^{0} f \( - t \) dt}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{a} f \( - t \) dt}$

　(∵ $3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f \(x\) dx=- \int _{b}^{a} f \(x\) dx}$ 　ここを参照)

$3$\displaystyle{ f \(x\) }$ が奇関数なので $3$\displaystyle{- f \(t\) =f \( - t \) }$ となり

$3$\displaystyle{=- \int _{0}^{a} f \(t\) dt}$

また，変数を $3$\displaystyle{t}$ から $3$\displaystyle{x}$ に置き換えても積分値は変わらないので

$3$\displaystyle{=- \int _{0}^{a} f \(x\) dx}$

と表すことができる．よって，(1)式は以下のようになる．

$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{0} f \(x\) dx+\int _{0}^{a} f \(x\) dx}$

$3$\displaystyle{=- \int _{0}^{a} f \(x\) dx+\int _{0}^{a} f \(x\) dx=0}$

以上より

$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{a} f \(x\) dx=0}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年7月30日