定積分の基本式(3)　関数の和

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} \{ f $x$ \pm g $x$ \} dx}$ $3$\displaystyle{=\int _{a}^{b} f $x$ dx\pm \int _{a}^{b} g $x$ dx }$

■導出

$3$\displaystyle{f $x$ ,g $x$ }$ の原始関数をそれぞれ $3$\displaystyle{F $x$ ,G $x$ }$ とし

$3$\displaystyle{H $x$ =F $x$ +G $x$ }$ 　･･････(1)

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}H $x$ =\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \{ F $x$ +G $x$ \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}F $x$ +\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}G $x$ }$

$3$\displaystyle{=f $x$ +g $x$ }$ (∵ここを参照)

すなわち， $3$\displaystyle{f $x$ +g $x$ }$ の原始関数が $3$\displaystyle{H $x$ }$ である．

よって

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} \{ f $x$ +g $x$ \} dx=H $b$ - H $a$ }$

となる．ここで右辺を(1)を用いて以下のように変形すると

$3$\displaystyle{=F $b$ +G $b$ - \{ F $a$ +G $a$ \} }$

$3$\displaystyle{=F $b$ - F $a$ +G $b$ - G $a$ }$

$3$\displaystyle{=\int _{a}^{b} f $x$ dx+\int _{a}^{b} g $x$ dx}$

以上より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} \{ f $x$ +g $x$ \} dx}$ $3$\displaystyle{=\int _{a}^{b} f $x$ dx+\int _{a}^{b} g $x$ dx}$

同様にして

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} \{ f $x$ - g $x$ \} dx}$ $3$\displaystyle{=\int _{a}^{b} f $x$ dx- \int _{a}^{b} g $x$ dx}$

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最終更新日： 2025年8月8日

定積分の基本式(3) 関数の和

■導出

定積分の基本式(3)　関数の和