関数の和，差の導関数

$3$\displaystyle{{ \{ g $x$ \pm h $x$ \} }^{\prime }={g}^{\prime } $x$ \pm {h}^{\prime } $x$ }$

すなわち，

　 $3$f $x$ =g $x$ \pm h $x$$ $3$\rightarrow {f}^{\prime } $x$ ={g}^{\prime } $x$ \pm {h}^{\prime } $x$$

■導出

関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は関数 $3$\displaystyle{ g $x$ }$ と関数 $3$\displaystyle{ h $x$ }$ より

$3$\displaystyle{ f $x$ =g $x$ \pm h $x$ }$

と定義されている． $3$\displaystyle{ f $x$ }$ の導関数は定義式より

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+ {\Delta}x $ + f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \left{{ g\left({ x+{\Delta}x }\right)\pm h\left({ x+{\Delta}x }\right) }\right}- \left{{ g\left({x}\right)\pm h\left({x}\right) }\right} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

式を整理しなおすと

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({x}\right)={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \left{{ g\left({ x+{\Delta}x }\right)- g\left({x}\right) }\right}\pm \left{{ h\left({ x+{\Delta}x }\right)- h\left({x}\right) }\right} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \{ g $ x+ {\Delta}x $ - g $x$ \} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \pm {\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \{ h $ x+ {\Delta}x $ - h $x$ \} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={g}^{\prime } $x$ + {h}^{\prime } $x$ }$

となる．すなわち

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ ={g}^{\prime } $x$ \pm {h}^{\prime } $x$ }$

である．

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最終更新日： 2024年7月18日