定積分で定義された関数の微分

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\int _{a}^{x} f $t$ dt =f $x$ }$

ポイント： $3$ f $t$$ の部分には $3$x$ を含んでいてはいけない．積分範囲に注意． $3$x$ は上端でなければならない．

■導出

●その１

　関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ の原始関数を $3$\displaystyle{ F $x$ }$ とすると $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}F \(x$ =f $x$ \) }$

$3$\displaystyle{\int _{a}^{x} f $t$ dt =F $x$ - F $a$ }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\int _{a}^{x} f $t$ dt }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \{ F $x$ - F $a$ \} }$

$3$\displaystyle{ ={F}^{\prime }\left({x}\right) }$ $3$\displaystyle{ \left({ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {F}^{\prime }\left({a}\right)=0 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =f $x$ }$

●その２

　 $3$\displaystyle{\int _{a}^{x} f $t$ dt =F $x$ }$ とおく． $3$x$ が $3$x$ から $3$\displaystyle{ x+{\Delta}x }$ に増加したときの $3$\displaystyle{ F $x$ }$ の増加量を $3$\displaystyle{ {\Delta}F }$ とすると，

$3$\displaystyle{ F $ x+{\Delta}x $ - F $x$ ={\Delta}F }$

と表すことができる．

拡大図より， $3$\displaystyle{ {\Delta}F={\Delta}x\cdot f $u$ }$ となる $3$u$ が存在することがわかる．この関係は $3$\displaystyle{ {\Delta}x< 0 }$ の時も成り立つ．

$3$ {\Delta}x\rightarrow 0$ のとき， $3$\displaystyle{ u\rightarrow x }$ ， $3$\displaystyle{ f $u$ \rightarrow f $x$ }$ となることから

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} F $ x+{\Delta}x $ - F $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}F \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}x\cdot f $u$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=f $x$ }$

となる．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\int _{a}^{x} f $t$ dt =f $x$ }$

が得られる．

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最終更新日： 2025年9月5日