部分積分法

【不定積分】

$3$\displaystyle{ \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx=f $x$ g $x$ }$ $3$\displaystyle{ - \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$

【定積分】

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx = \[ f $x$ g $x$ \] _{a}^{b} }$ $3$\displaystyle{ - \int _{a}^{b} {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$

$3$\displaystyle{f $x$ }$ と $3$\displaystyle{g $x$ }$ の関係を逆にした表現もよくある．

【不定積分】

$3$\displaystyle{ \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx=f $x$ g $x$ }$ $3$\displaystyle{ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$

【定積分】

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx = \[ f $x$ g $x$ \] _{a}^{b} }$ $3$\displaystyle{ - \int _{a}^{b} f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$

■関連動画

■利用上のポイント

関数の積の積分において，その一方が微分すると簡単になるときに有効である．

部分積分法を使った計算例は，ここにいくつか掲載している．

部分積分を行うと以下に示す特殊な場合がある．

部分積分を行うと，右辺に左辺と同じ積分が現れる場合⇒積分例
部分積分を行うと漸化式となる場合⇒積分例1，積分例2

■部分積分法の公式の導出

関数の積の微分の公式

$3$\displaystyle{{ \{ f $x$ g $x$ \} }^{\prime }={f}^{\prime } $x$ g $x$ +f $x$ {g}^{\prime } $x$ }$ 　･･････(1)

の両辺を積分し，式を整理すると

$3$\displaystyle{\int {\left{{ f\left({x}\right)g\left({x}\right) }\right}}^{\prime }dx}$ $3$\displaystyle{=\int \left{{ {f}^{\prime }\left({x}\right)g\left({x}\right)+f\left({x}\right){g}^{\prime }\left({x}\right) }\right}dx}$

$3$\displaystyle{ f $x$ g $x$ }$ $3$\displaystyle{ =\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx+ \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$

$3$\displaystyle{ \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ $3$\displaystyle{ =f $x$ g $x$ - \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$

となり，不定積分の部分積分法の公式が求まる．

(1)を $3$a$ から $3$b$ の範囲で積分する．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{b} { \left{{ f\left({x}\right)g\left({x}\right) }\right} }^{\prime }dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{a}^{b} \left{{ {f}^{\prime }\left({x}\right)g\left({x}\right)+f\left({x}\right){g}^{\prime }\left({x}\right) }\right}dx }}$

$3$\left[{ f\left({x}\right)g\left({x}\right) }\right]_{a}^{b}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{a}^{b} {f}^{\prime }\left({x}\right)g\left({x}\right)dx }+\displaystyle{ \int _{a}^{b} f\left({x}\right){g}^{\prime }\left({x}\right)dx }}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{b} f\left({x}\right){g}^{\prime }\left({x}\right)dx }}$ $3$\displaystyle{=\left[{ f\left({x}\right)g\left({x}\right) }\right]_{a}^{b}- \displaystyle{ \int _{a}^{b} {f}^{\prime }\left({x}\right)g\left({x}\right)dx }}$

となり，定積分の部分積分法の公式が求まる．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>部分積分

最終更新日： 2025年11月14日