積分　{e^(2x)}sinx

$3$\displaystyle{ \int {e}^{ 2x }\sin xdx }$

部分積分法を用いて計算する．

$3$\displaystyle{ =\int { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x } $ }^{\prime }\sin xdx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\sin x- \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }{ $ \sin x $ }^{\prime }dx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\sin x- \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\cos xdx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\sin x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int {e}^{ 2x }\cos xdx }$ 　･･････(1)

右辺の $3$\displaystyle{ \int {e}^{ 2x }\cos xdx }$ も同様に部分積分法を用いて計算すると

$3$\displaystyle{ \int {e}^{ 2x }\cos xdx }$

$3$\displaystyle{ =\int { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x } $ }^{\prime }\cos xdx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\cos x- \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }{ $ \cos x $ }^{\prime }dx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\cos x- \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x } $ - \sin x $ dx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int {e}^{ 2x }\sin xdx }$ 　･･････(2)

(2)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{\int {e}^{ 2x }\sin xdx }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\sin x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int {e}^{ 2x }\sin xdx $ }$

$3$\displaystyle{ \int {e}^{ 2x }\sin xdx }$ の積分が右辺にも現れている．

$3$\displaystyle{\int {e}^{ 2x }\sin xdx =I}$ とおいて， $3$I$ について解くと

$3$\displaystyle{I=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\sin x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}I $ }$

$3$\displaystyle{I=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }\sin x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{e}^{ 2x }\cos x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}I}$

$3$\displaystyle{ $ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ I=\frac{\hspace{2} {e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ 2\sin x- \cos x $ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}I=\frac{\hspace{2} {e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ 2\sin x- \cos x $ }$

$3$\displaystyle{I=\frac{\hspace{2} {e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ 2\sin x- \cos x $ }$

したがって

$3$\displaystyle{ \int {e}^{ 2x }\sin xdx }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}{e}^{ 2x }\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}$2\sin x- \cos x$+C }$

ただし， $3$C$ は定数

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最終更新日：2023年10月4日

積分 {e^(2x)}sinx

積分　{e^(2x)}sinx