積分　(x^n)e^x

$3$\displaystyle{ \int {x}^{n}{e}^{x}dx }$

部分積分法を用いて計算する．

$3$\displaystyle{ =\int {x}^{n}{e}^{x}xdx }$

$3$\displaystyle{ =\int {x}^{n}{ \{ {e}^{x} \} }^{\prime }xdx }$

$3$\displaystyle{ ={x}^{n}{e}^{x}- \int { \{ {x}^{n} \} }^{\prime }{e}^{x}xdx }$

$3$\displaystyle{ ={x}^{n}{e}^{x}- \int n{x}^{ n- 1 }{e}^{x}xdx }$

$3$\displaystyle{ ={x}^{n}{e}^{x}- n\int {x}^{ n- 1 }{e}^{x}xdx }$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{\int {x}^{n}{e}^{x}dx =\hspace{1}{I}_{n}}$ とおくと，(1)の右辺の $3$\displaystyle{ \int {x}^{ n- 1 }{e}^{x}xdx }$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{ n- 1 }}$ と表される．すなわち， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{n}}$ は数列 $3$\displaystyle{ \{ \hspace{1}{I}_{n} \} }$ の第 $3$n$ 項， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{ n- 1 }}$ は数列 $3$\displaystyle{ \{ \hspace{1}{I}_{n} \} }$ の第 $3$\displaystyle{n- 1}$ 項のことである． $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{n}}$ と $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{ n- 1 }}$ を用いて(1)をかき直すと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{n}={x}^{n}{e}^{x}- n\hspace{1}{I}_{ n- 1 }}$

となり，漸化式となる．

この漸化式をもとに， $3$\displaystyle{\int {x}^{3}{e}^{x}dx }$ の積分を計算してみる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{0}=\int {x}^{0}{e}^{x}dx =\int {e}^{x}dx ={e}^{x}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{1}={x}^{1}{e}^{x}- 1\cdot \hspace{1}{I}_{0}=x{e}^{x}- {e}^{x}}$ $3$\displaystyle{= $ x- 1 $ {e}^{x}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{2}={x}^{2}{e}^{x}- 2\hspace{1}{I}_{1}}$ $3$\displaystyle{={x}^{2}{e}^{x}- 2 $ x- 1 $ {e}^{x}}$ $3$\displaystyle{= $ {x}^{2}- 2x+2 $ {e}^{x}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{3}={x}^{3}{e}^{x}- 3\hspace{1}{I}_{2}}$ $3$\displaystyle{={x}^{3}{e}^{x}- 3 $ {x}^{2}- 2x+2 $ {e}^{x}}$ $3$\displaystyle{= $ {x}^{3}- 3{x}^{2}+6x- 6 $ {e}^{x}}$

のように， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{0}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{3}}$ と順次漸化式を利用して計算するとよい．

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最終更新日： 2023年10月4日

積分 (x^n)e^x

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