定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{1}^{2} 2xdx }$

■答

$3$\displaystyle{ 3 }$

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ ･･････(1)

置換積分法より

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx=\int _{{\alpha}}^{{\beta}} f $ g \(t$ \) {g}^{\prime } $t$ dt }$ ･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int 2xdx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{ \int 2xdx }$ $3$\displaystyle{ =2\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C }$

（ $3$\displaystyle{x}$ を積分すると $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} }$ になるのは，基本となる関数の積分の $3$\displaystyle{1}$ 番めの式を参照）
（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

$3$\displaystyle{ ={x}^{2}+C }$

（これが $3$\displaystyle{ 2x }$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(1))より

$3$\displaystyle{ \int _{1}^{2} 2xdx = \[ {x}^{2} \] _{1}^{2} }$

となる．

$3$\displaystyle{ = \[ {x}^{2} \] _{1}^{2} }$ $3$\displaystyle{ ={2}^{2}- {1}^{2} }$ $3$\displaystyle{ =4- 1 }$ $3$\displaystyle{ =3 }$

この定積分の値は，下の図の赤色の領域の面積の値に相当する．

また，この問題は，置換積分法を用いても解くことができる．

■置換積分を用いた場合の答

● $3$2x=t$ と置換した場合

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int 2xdx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{ 2x=t }$ ･･････(3)

とおいて置換積分をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2}$ ∴ $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$ ･･････(4)

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\int t\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int tdt }$

（ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2}+C $ }$

（ $3$\displaystyle{t}$ を積分すると $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2} }$ になるのは，基本となる関数の積分の $3$\displaystyle{1}$ 番めの式を参照）
（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{t}^{2}+C }$

$3$\displaystyle{ 2x=t }$ と置換していることより

$3$\displaystyle{x=1}$ のとき $3$\displaystyle{t=2}$ , $3$\displaystyle{x=2}$ のとき $3$\displaystyle{t=4}$

よって，置換積分の計算式(ヒントの式(2))より

$3$\displaystyle{ \int _{1}^{2} 2xdx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int _{2}^{4} tdt= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{t}^{2} \] _{2}^{4} }$

となる．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ {4}^{2}- {2}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ 16- 4 $ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot 12 }$ $3$\displaystyle{ =3 }$