定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{1}^{2} 2dx }$

■答

$3$\displaystyle{ 2 }$

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ ･･････(1)

置換積分法より

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx=\int _{{\alpha}}^{{\beta}} f $ g \(t$ \) {g}^{\prime } $t$ dt }$ ･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int 2dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{ \int 2dx }$ $3$\displaystyle{ =2x+C }$

（ $3$\displaystyle{2}$ を積分すると $3$\displaystyle{ 2x }$ になるのは，基本となる関数の積分の $3$\displaystyle{1}$ 番めの式を参照）
（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）
（これが $3$\displaystyle{2}$ の原始関数である）

よって，ヒントの式(1)より

$3$\displaystyle{ \int _{1}^{2}2dx= \[ 2x \] _{1}^{2} }$

となる

$3$\displaystyle{ = \[ 2x \] _{1}^{2} }$ $3$\displaystyle{ =2 $ 2- 1 $ }$ $3$\displaystyle{ =2 }$

この定積分の値は，下の図の赤色の領域の面積の値に相当する．

また，この問題は，置換積分法を用いても解くことができる．

■置換積分を用いた場合の答

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int 2dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{ 2x=t }$ とおいて置換積分をする．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2}$ ∴ $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$ ･･････(3)

よって

$3$\displaystyle{ \int 2dx }$ $3$\displaystyle{ =\int 2\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ $3$\displaystyle{ =\int dt }$ $3$\displaystyle{ =t+C }$