合成関数の導関数

$3$\displaystyle{y=f $u$ }$ ， $3$\displaystyle{u=g $x$ }$ のとき，後の式を前の式に代入すると， $3$\displaystyle{y=f $ g \(x$ \) }$ となる．これを， $3$\displaystyle{y=f $u$ }$ ， $3$\displaystyle{u=g $x$ }$ の合成関数という．合成関数の導関数は，

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}} }$

あるいは，

$3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

( $3$\displaystyle{ g $x$ =u }$ を代入すると $3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{{ \{ f $ u $ \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ u $ \cdot {g}^{\prime } $x$ }}}$ )

となる．

→合成関数を微分する手順

■導出

合成関数を導関数の定義にしたがって微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ g \( x+h $ \) - f $ g \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 }\left{{\frac{\hspace{2} f $ g \( x+ h $ \) - f $ g \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ \cdot \frac{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }\right\} }$

ここで， $3$\displaystyle{g $ x+h $ - g $x$ =j}$ とおくと， $3$\displaystyle{g $ x+h $ =g $x$ +j=u+j}$ となる．よって，

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 }\left{{\frac{\hspace{2} f $ u+ j $ - f $u$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ \cdot \frac{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }\right\} }$

$3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ ならば， $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ となる．よって，

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ j\rightarrow 0 } \{\frac{\hspace{2} f $ u+ j $ - f $u$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}}\} }$ $3$\displaystyle{ \cdot {\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 } \{\frac{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\} }$

$3$\displaystyle{={f}^{\prime } $u$ \cdot {g}^{\prime } $x$ }$ 導関数を参照

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

合成関数の導関数を以下のように表す場合もある．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}={ \{ f $u$ \} }^{\prime }={f}^{\prime } $u$ ={f}^{\prime } $ g \(x$ \) }$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \{ g $x$ \} }^{\prime }={g}^{\prime } $x$ }$ であるので，

$3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

となる．

●グラフを用いた合成関数の導関数の説明

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ {\Delta}u\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}}$

である．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 } $\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}$ }$

$3$\displaystyle{= $ { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}} $ $ { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{{\Delta}x\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{{\Delta}u\rightarrow 0}$ である．よって

$3$\displaystyle{= $ { \lim }\limits_{ {\Delta}u\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}} $ $ { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2024年5月17日