合成関数の導関数

$3$\displaystyle{y=f $u$ }$ ， $3$\displaystyle{u=g $x$ }$ のとき，後の式を前の式に代入すると， $3$\displaystyle{y=f $ g \(x$ \) }$ となる．これを， $3$\displaystyle{y=f $u$ }$ ， $3$\displaystyle{u=g $x$ }$ の合成関数という． $3$\displaystyle{ y=f\left({u}\right) }$ が $3$u$ について， $3$\displaystyle{u=g\left({x}\right)}$ が $3$x$ においてそれぞれ微分可能であるとき，合成関数の導関数は $3$x$ について微分可能で

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}} }$

あるいは

$3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

( $3$\displaystyle{ g $x$ =u }$ を代入すると $3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{{ \{ f $ u $ \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ u $ \cdot {g}^{\prime } $x$ }}}$ )

となる．

→合成関数を微分する手順

■導出

合成関数を導関数の定義にしたがって微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ g \( x+h $ \) - f $ g \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 }\left{{\frac{\hspace{2} f $ g \( x+ h $ \) - f $ g \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ \cdot \frac{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }\right\} }$

ここで

$3$\displaystyle{g $ x+h $ - g $x$ =j}$ ･･････(2)

とおくと

$3$\displaystyle{g $ x+h $ =g $x$ +j=u+j}$ ･･････(3)

となる．よって

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 }\left{{\frac{\hspace{2} f $ u+ j $ - f $u$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ \cdot \frac{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }\right\} }$ ･･････(4)

$3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ ならば， $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ となる．

【補足説明】

$3$\displaystyle{u=g\left({x}\right)}$ が $3$x$ において微分可能であことより， $3$\displaystyle{u=g\left({x}\right)}$ は $3$x$ において連続である．したがって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }g\left({ x+h }\right)=g\left({x}\right)}$

である．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }j={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\left{{ g\left({ x+h }\right)- g\left({x}\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=g\left({x}\right)- g\left({x}\right)=0}$

すなわち

$3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ のとき， $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ となる．･･････(5)

注意： $3$\displaystyle{g\left({x}\right)}$ が定数などの場合，(3)より $3$j$ が $3$0$ となってしまい(4)が成り立たない．このような場場合の証明は，ここをみてください．

よって

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ j\rightarrow 0 } \{\frac{\hspace{2} f $ u+ j $ - f $u$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}}\} }$ $3$\displaystyle{ \cdot {\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 } \{\frac{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\} }$

$3$\displaystyle{={f}^{\prime } $u$ \cdot {g}^{\prime } $x$ }$ 導関数を参照

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

合成関数の導関数を以下のように表す場合もある．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}={ \{ f $u$ \} }^{\prime }={f}^{\prime } $u$ ={f}^{\prime } $ g \(x$ \) }$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \{ g $x$ \} }^{\prime }={g}^{\prime } $x$ }$ であるので，

$3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

となる．

●グラフを用いた合成関数の導関数の説明

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ {\Delta}u\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}}$

である．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 } $\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}$ }$

$3$\displaystyle{= $ { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}} $ $ { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{{\Delta}x\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{{\Delta}u\rightarrow 0}$ である．よって

$3$\displaystyle{= $ { \lim }\limits_{ {\Delta}u\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}} $ $ { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

【 $3$\displaystyle{ j=0 }$ の場合も含む証明】

導関数の定義式

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({u}\right)={ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f\left({ u+j }\right)- f\left({u}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}}}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。

より

$3$\displaystyle{f\left({ u+j }\right)- f\left({u}\right)={f}^{\prime }\left({u}\right)j+{\varepsilon}\left({j}\right)j}$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }{\varepsilon}\left({j}\right)=0}$ ･･････(6)

となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}\left({j}\right)}$ が存在する．さらに

$3${\varepsilon}\left({0}\right)=0$

とする(拡張する)．

(6)の右辺を $3$j$ でくくると

$3$f\left({ u+j }\right)- f\left({u}\right)=\left{{ {f}^{\prime }\left({u}\right)+{\varepsilon}\left({j}\right) }\right}j$ ･･････(7)

となる．(7)に(２)より得られる

$3$\displaystyle{j=g $ x+h $ - g $x$ }$

(３)より得られる

$3$\displaystyle{u+j=g $ x+h $ }$

と

$3$\displaystyle{u=g\left({x}\right)}$

を代入すると

$3$\displaystyle{f\left({ g\left({ x+h }\right) }\right)- f\left({ g\left({x}\right) }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left{{ {f}^{\prime }\left({u}\right)+{\varepsilon}\left({j}\right) }\right}\left{{ g\left({ x+h }\right)- g\left({x}\right) }\right}}$

となる．両辺を $3$h$ （ただし， $3$h\neq 0$ ）で割り

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} f\left({ g\left({ x+h }\right) }\right)- f\left({ g\left({x}\right) }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left{{ {f}^{\prime }\left({u}\right)+{\varepsilon}\left({j}\right) }\right}\left{{ g\left({ x+h }\right)- g\left({x}\right) }\right} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

さらに，両辺に対して $3$h\rightarrow 0$ の極限をとる．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f\left({ g\left({ x+h }\right) }\right)- f\left({ g\left({x}\right) }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \left{{ {f}^{\prime }\left({u}\right)+{\varepsilon}\left({j}\right) }\right}\left{{ g\left({ x+h }\right)- g\left({x}\right) }\right} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ ｈ\rightarrow 0 }\left{{ {f}^{\prime }\left({u}\right)+{\varepsilon}\left({j}\right) }\right}\cdot { \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g\left({ x+h }\right)- g\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 （∵ここを参照）

$3$\displaystyle{={f}^{\prime }\left({u}\right){g}^{\prime }\left({x}\right)}$

なぜならば

(6)の $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ のとき， $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ より， $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ のとき， $3${\varepsilon}\left({j}\right)\rightarrow 0$
$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g\left({ x+h }\right)- g\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}={g}^{\prime }\left({x}\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

すなわち

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>合成関数の導関数

最終更新日： 2026年6月14日