定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} \sqrt{ 1- {x}^{2} }dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$

置換積分法より

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx=\int _{{\alpha}}^{{\beta}} f $ g \(t$ \) {g}^{\prime } $t$ dt }$

を用いる．

この積分の計算は、図の赤色の面積を求める計算である．

■解説

● $3$ x=\sin {\theta}$ とおいて置換積分する場合

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int \sqrt{ 1- {x}^{2} }dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{ x=\sin {\theta} }$ $3$\displaystyle{ $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ とおいて置換積分をする．（置換積分による解法を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=\cos {\theta}}$ ∴ $3$\displaystyle{dx=\cos {\theta}d{\theta}}$

（ $3$\displaystyle{\sin {\theta}}$ を微分すると $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ になるのは，微分 $3$\displaystyle{ \sin x }$ 　を参照）

$3$\displaystyle{ \int \sqrt{ 1- {x}^{2} }dx }$ $3$\displaystyle{ =\int \sqrt{ 1- { \sin }^{2}{\theta} } \cdot \cos {\theta}d{\theta} }$

ここで，三角関数（三角比）の相互関係の $3$\displaystyle{1}$ 番目の式 $3${\sin }^{2}θ+{\cos }^{2}θ=1$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
から

$3$\displaystyle{ \sqrt{ 1- { \sin }^{2}{\theta} }=\sqrt{ { \cos }^{2}{\theta} } }$

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ より， $3$\displaystyle{ \cos {\theta}\geq 0 }$ →　 $3$\displaystyle{ \sqrt{ { \cos }^{2}{\theta} }=\cos {\theta} }$ である．

よって

$3$\displaystyle{ =\int { \cos }^{2}{\theta} d{\theta} }$

ここで，半角の公式より（ $3$\displaystyle{ { \cos }^{2}{\theta}={ \cos }^{2}\frac{\hspace{2} 2{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ なので，半角の公式の $3$\displaystyle{{\alpha}}$ に $3$\displaystyle{ 2{\theta} }$ を代入する）

$3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2} 1+\cos 2{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2{\theta}+C}$

（三角関数の積分を参照）
（これが $3$\displaystyle{ \sqrt{ 1- {x}^{2} } }$ の原始関数である）

次に， $3$\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} \sqrt{ 1- {x}^{2} }dx }$ を求める．

はじめに $3$\displaystyle{x=\sin {\theta}}$ と置換しているので

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき　 $3$\displaystyle{ {\theta}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$ , $3$\displaystyle{x=1}$ のとき　 $3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1} \sqrt{ 1- {x}^{2} } dx=\int _{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \frac{\hspace{2} 1+\cos 2{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} d{\theta} }$ $3$\displaystyle{ = \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2{\theta} \] _{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$

（置換積分法を参照）

となる．

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2{\theta} \] _{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin $ 2\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{- \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin $ 2\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot \sin {\pi}- $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot 0- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$

上記置換積分の変数変換の考えを幾何学的に表したのが下図である．

■解説

● $3$ x=\cos {\phi}$ とおいて置換積分する場合

$3$\displaystyle{x=\cos {\phi}}$ $3$\displaystyle{\left({ 0\leq {\phi}\leq {\pi} }\right)}$ とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\phi} \hspace{2}}=- \sin {\phi}}$ より， $3$\displaystyle{dx=- \sin {\phi}d{\phi}}$

$3$\displaystyle{x:\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\rightarrow 1}$ のとき， $3$\displaystyle{{\phi}:\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\rightarrow 0}$

よって

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1}\sqrt{ 1- {x}^{2} }dx}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }^{0}\sqrt{ 1- { \cos }^{2}{\phi} }\left({ - \sin {\phi} }\right)d{\phi}}$

$3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\phi}+{\cos }^{2}{\phi}=1}$ の関係を用いると

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{\int }_{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }^{0}\sqrt{ { \sin }^{2}{\phi} }\sin {\phi}d{\phi}}$

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx=- \int _{b}^{a} f $x$ dx}$ ここを参照

$3$\displaystyle{0\leq {\phi}\leq {\pi}}$ より $3$\displaystyle{\sin {\phi}\geq 0}$ ．よって， $3$\displaystyle{\sqrt{ { \sin }^{2}{\phi} }=\sin {\phi}}$ ．

したがって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\sin {\phi}\sin {\phi}d{\phi}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }{\sin }^{2}{\phi}d{\phi}}$

半角の公式を用いると

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 1- \cos 2{\phi} }\right)d{\phi}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left[{ {\phi}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2{\phi} }\right]_{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ \left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)- \left({ 0- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 0 }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$

上記置換積分の変数変換の考えを幾何学的に表したのが下図である．

●参考

求める面積は扇形 $3$\text{OAB}$ の面積から三角形 $3$\text{OBC}$ の面積を引いたものである．

扇形 $3$\text{OAB}$ の面積 $3$\displaystyle{={\pi}\cdot {1}^{2}\cdot \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

三角形 $3$\text{OBC}$ の面積 $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$

したがって

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{1}\sqrt{ 1- {x}^{2} }dx}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年6月9日