定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{6} \| \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 \| dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ 5 }$

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ ･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

　 $3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}} dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2) 　

■解説

まず， $3$\displaystyle{ \| \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 \| }$ を場合分けする．

$3$\displaystyle{ 0\leq x< 2 }$ のとき， $3$\displaystyle{ \| \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 \| =- $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 $ }$

$3$\displaystyle{ 2\leq x\leq 6 }$ のとき， $3$\displaystyle{ \| \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 \| = $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 $ }$

したがって

与式 $3$\displaystyle{ =\int _{0}^{2} \{ - $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 $ \} dx }$ $3$\displaystyle{ +\int _{2}^{6} $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 $ dx }$

（この定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{ =- \int _{0}^{2} $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 $ dx }$ $3$\displaystyle{ +\int _{2}^{6} $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 $ dx }$

（ $3$\displaystyle{- }$ を積分記号 $3$\displaystyle{ \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

ヒントの式(2)を適用する．

$3$\displaystyle{ =- \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- x \] _{0}^{2}+ \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- x \] _{2}^{6} }$

$3$\displaystyle{ =- \[ \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- x \] _{0}^{2}+ \[ \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- x \] _{2}^{6} }$

$3$\displaystyle{ =- \{ $ \frac{\hspace{2} {2}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 2 $ - $ \frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 0 $ \} }$ $3$\displaystyle{ + \{ $ \frac{\hspace{2} {6}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 6 $ - $ \frac{\hspace{2} {2}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 2 $ \} }$

$3$\displaystyle{ =- $ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 2 $ }$ $3$\displaystyle{ + \{ $ \frac{\hspace{2} 36 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 6 $ - $ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 2 $ \} }$

$3$\displaystyle{ =- $ 1- 2 $ + \{ $ 9- 6 $ - $ 1- 2 $ \} }$

$3$\displaystyle{ =- $ - 1 $ + \{ 3- $ - 1 $ \}\hspace{10} }$

$3$\displaystyle{ =1+ $ 3+1 $ }$

$3$\displaystyle{ =5 }$

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最終更新日： 2025年6月9日