定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\int _{ - 3 }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+16 } \hspace{2}}dx }$

■答

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

$3$\displaystyle{\log 2}$

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ ･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{ {x}^{2}+ A }\hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{=\log \mid x+ \sqrt{ {x}^{2}+ A } \mid + C}$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+16 } \hspace{2}}dx }$ を求めておく．

ヒントの式(2)より

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+16 } \hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{=\log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+16 } \| +C}$

（これが　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+16 } \hspace{2}} }$ の原始関数である）

よって，(1)より

$3$\displaystyle{\int _{ - 3 }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+16 } \hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{= \[ \log \| x+\sqrt{ {x}^{2}+16 } \| \] _{ - 3 }^{0}}$

となる．

$3$\displaystyle{=\log \| 0+\sqrt{ 0+16 } \| }$ $3$\displaystyle{- \log \| - 3+\sqrt{ 9+16 } \| }$

$3$\displaystyle{=\log \| \sqrt{ 16 } \| - \log \| - 3+\sqrt{ 25 } \| }$

$3$\displaystyle{=\log 4- \log 2}$

$3$\displaystyle{=\log \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

（ $3$\displaystyle{ \log 4- \log 2=\log \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ については，対数計算の基本を参照）

$3$\displaystyle{=\log 2}$

●別解

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{ - 3 }^{0}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+16 } \hspace{2}}dx}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - 3 }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right) }^{2}+1 } \hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}=\tan {\theta}}$ とおき置換積分をする．ただし， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ．

$3$\displaystyle{x=4\tan {\theta}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=4\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}}$ 　→　 $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}dt}$

$3$x$ が $3$- 3\rightarrow 0$ のとき， $3${\theta}$ は $3$\hspace{1}{{\theta}}_{1}\rightarrow 0$ となる．ただし， $3$\displaystyle{\tan \hspace{1}{{\theta}}_{1}=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ ．

よって

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ \hspace{1}{{\theta}}_{1} }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4\sqrt{ { \left({ \tan {\theta} }\right) }^{2}+1 } \hspace{2}}\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{{\tan }^{2}{\theta}+1=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}}$ の関係を用いると

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ \hspace{1}{{\theta}}_{1} }^{0} \sqrt{ { \cos }^{2}{\theta} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}d{\theta} }}$

積分範囲では， $3$\cos {\theta}> 0$ り， $3$\displaystyle{\sqrt{ { \cos }^{2}{\theta} }=\cos {\theta}}$ となる．よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ \hspace{1}{{\theta}}_{1} }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ \hspace{1}{{\theta}}_{1} }^{0} \frac{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ \hspace{1}{{\theta}}_{1} }^{0} \frac{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- { \sin }^{2}{\theta} \hspace{2}}d{\theta} }}$

さらに， $3$\sin {\theta}=t$ とおく置換積分をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=\cos {\theta}\text{ }\rightarrow \text{ }\cos {\theta}d{\theta}=dt}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3${\theta}$ が $3$\hspace{1}{{\theta}}_{1}\rightarrow 0$ のとき， $3$t$ は $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\text{ }\rightarrow \text{}\text{ }0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
となる．なぜなら， $3$\displaystyle{\tan \hspace{1}{{\theta}}_{1}=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ のとき， $3$\displaystyle{\sin \hspace{1}{{\theta}}_{1}=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ ．

よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}dt }}$

被積分関数を部分分数に分解すると

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- t \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+t \hspace{2}} }\right)dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left[{ - \log \left|{ 1- t }\right|+\log \left|{ 1+t }\right| }\right]_{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }^{0}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ \left({ - \log 1+\log 1 }\right)- \left({ - \log \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}+\log \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ \left({ - 0+0 }\right)- \log \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} \hspace{2}} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - \log \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log 4}$

$3$\displaystyle{=\log 2}$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>> $3$\displaystyle{\int _{ - 3 }^{0} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+16 } \hspace{2}}dx }$

最終更新日： 2025年9月8日