部分分数に分解する手順

■部分分数分解の主なタイプ

●タイプ1

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} cx+d \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+a $ $ x+b $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+a \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+b \hspace{2}}}$ 　⇒ $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ を求める方法

●タイプ2

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} bx+c \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+a $ }^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+a $ }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+a \hspace{2}}}$ 　⇒ $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ を求める方法

●タイプ3

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} c{x}^{2}+ dx+ e \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+ a $ }^{2} $ x+ b $ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2}{ $ x+ a $ }^{2}\hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+ a \hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} x+ b \hspace{2}} }$ 　⇒ $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ ， $3$\displaystyle{C}$ を求める方法

●タイプ4

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} d{x}^{2}+ex+f \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x+a }\right)\left({ {x}^{2}+bx+c }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+a \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} Bx+C \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+bx+c \hspace{2}}}$ 　⇒ $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ ， $3$\displaystyle{C}$ を求める方法

■タイプ1

の形に部分分数に分解する．（部分分数分解の一意性(1)を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+a \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+b \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A $ x+b $ +B $ x+a $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+a $ $ x+b $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} $ A+B $ x+Ab+Ba \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+a $ $ x+b $ \hspace{2}}}$

より

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array}{lll} A+B=c & \vspace{6}\\ Ab+Ba=d & \vspace{6}\\ \end{array} }$

の関係がある．

$3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ はこの連立方程式を解くことによって求まる． ⇒ $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ を求める他の方法

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■タイプ2

の形に部分分数に分解する．（部分分数分解の一意性(2)を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+a $ }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+a \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A+B $ x+a $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+a $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} Bx+A+Ba \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+a $ }^{2} \hspace{2}}}$

より

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array}{lll} B=b & \vspace{6}\\ A+Ba=c & \vspace{6}\\ \end{array} }$

の関係がある．

$3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ はこの連立方程式を解くことによって求まる． ⇒ $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ を求める他の方法

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■タイプ3

タイプ1とタイプ2の複合タイプ

の形に部分分数に分解する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2}{ $ x+ a $ }^{2}\hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+ a \hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}C\hspace{2}}{\hspace{2} x+ b \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} A$x+b$+B$x+a$$x+b$+C{ $x+a$ }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $x+a$ }^{2}$x+b$ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} Ax+Ab+B{x}^{2}+2B$a+b$x+Bab+C{x}^{2}+2Cax+C{a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $x+a$ }^{2}$x+b$ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} $B+C${x}^{2}+\left{{A+2B$a+b$+\left.{ 2Ca }\right\}x+Ab+Bab+C{a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $x+a$ }^{2}$x+b$ \hspace{2}} }$

より

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array}{lll} B+C=c & \vspace{6}\\ A+2B $ a+b $ +2Ca=d & \vspace{6}\\ Ab+Bab+C{a}^{2}=e & \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ ， $3$\displaystyle{C}$ はこの連立方程式を解くことによって求まる． ⇒ $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ ， $3$\displaystyle{C}$ を求める他の方法

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■タイプ4

の形に部分分数に分解する．（部分分数分解の一意性(1)を参照）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+a \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} Bx+C \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+bx+c \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A\left({ {x}^{2}+bx+c }\right)+\left({ Bx+C }\right)\left({ x+a }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x+a }\right)\left({ {x}^{2}+bx+c }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A{x}^{2}+Abx+Ac+B{x}^{2}+Cx+Bax+Ca \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x+a }\right)\left({ {x}^{2}+bx+c }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left({ A+B }\right){x}^{2}+\left({ Ab+Ba+C }\right)x+Ac+Ca \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x+a }\right)\left({ {x}^{2}+bx+c }\right) \hspace{2}}}$

より

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}A+B=d& \vspace{6}\\ Ab+Ba+C=e& \vspace{6}\\ Ac+Ca=f& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ ， $3$\displaystyle{C}$ はこの連立方程式を解くことによって求まる．

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■参考

次に示す分数関数を部分分数に分解する手順を示す．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a{x}^{2}+bx+c \hspace{2}} }$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c=0}$ の解を $3$\displaystyle{{\alpha}}$ ， $3$\displaystyle{{\beta}}$ とする（実数解があることを前提としている）．すると(1)は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a{x}^{2}+bx+c \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a $ x- {\alpha} $ $ x- {\beta} $ \hspace{2}} }$ 　･･････(2)

となる（解と係数の関係を参照）

部分分数に分解するために，(2)を基にして定数 $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ を用い(3)のような式を考える．

(3)を通分すると，

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x- {\alpha} \hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x- {\beta} \hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} A$x- {\beta}$+ B$x- {\alpha}$ \hspace{2}}{\hspace{2} a$x- {\alpha}$$x- {\beta}$ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} $A+ B$x- $B{\alpha}+ A{\beta}$ \hspace{2}}{\hspace{2} a$x- {\alpha}$$x- {\beta}$ \hspace{2}} }$ 　･･････(4)

となる．(2)と(4)が等しくなるためには，

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}A+B=0& \vspace{6}\\ - $ B{\alpha}+A{\beta} $ =1& \vspace{6}\\ \end{array} }$

の関係が成り立てばよい．これより

$3$\displaystyle{ B=- A }$

$3$\displaystyle{ - \left({ - A\alpha +A{\beta} }\right)=1 }$

$3$\displaystyle{ A\left({ \alpha - {\beta} }\right)=1 }$

$3$\displaystyle{ A=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha - {\beta} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ B=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha - {\beta} \hspace{2}} }$

以上より(1)を部分分数に分解すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a{x}^{2}+ bx+ c \hspace{2}}}}$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a $ {\alpha}- {\beta} $ \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- {\alpha} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- {\beta} \hspace{2}} $ }$

となる．

●例1

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+2 $ \hspace{2}} }$ を部分分数に分解する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+2 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} }$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A $ x+2 $ +B $ x- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+2 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} $ A+B $ x+2A- B \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+2 $ \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array}{lll} A+B=0 & \vspace{6}\\ 2A- B=3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

の関係が成り立てばよい．

$3$\displaystyle{B=- A}$

$3$\displaystyle{2A- $ - A $ =3}$

$3$\displaystyle{3A=3}$

$3$\displaystyle{A=1}$

$3$\displaystyle{B=- 1}$

以上より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+2 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}}}$

●例2

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 3x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+1 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}}$ を部分分数に分解する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 3x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+1 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A $ x- 2 $ +B $ x+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+1 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} $ A+B $ x- 2A+B \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+1 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array}{lll} A+B=3 & \vspace{6}\\ - 2A+B=- 3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

の関係が成り立てばよい．

$3$\displaystyle{B=3- A}$

$3$\displaystyle{- 2A+ $ 3- A $ =- 3}$

$3$\displaystyle{- 3A=- 6}$

$3$\displaystyle{A=2}$

$3$\displaystyle{B=1}$

以上より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 3x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+1 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年1月6日