部分分数分解の一意性(1)

$3$\displaystyle{m}$ 次の整式 $3$\displaystyle{ F $x$ }$ と $3$\displaystyle{n}$ 次の整式 $3$\displaystyle{ G $x$ }$ からなる有利関数（ただし， $3$\displaystyle{ m> n }$ ）

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$

において， $3$\displaystyle{ F $x$ =P $x$ Q $x$ }$ に因数分解され $3$\displaystyle{}$ ， $3$\displaystyle{ P $x$ }$ と $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ は互いに素（共通因数をもたない）であるとすると， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$ は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} A $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} B $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ \hspace{2}} }$

と $3$\displaystyle{ P $x$ }$ ， $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ を分母とする分数 $3$\displaystyle{}$ ，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

このとき，整式 $3$\displaystyle{ A $x$ }$ ， $3$\displaystyle{ B $x$ }$ ， $3$\displaystyle{ P $x$ }$ ， $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ の次数を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{i}_{A} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{j}_{B} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{k}_{P} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{l}_{Q} }$ とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{i}_{A}< \hspace{1}{k}_{P} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{j}_{B}< \hspace{1}{l}_{Q} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{k}_{P}+\hspace{1}{l}_{Q}=m }$

である．

■証明

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{k}_{P}≧\hspace{1}{l}_{Q} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
として， $3$\displaystyle{ P $x$ }$ を $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ で割ったときの商を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{1} $x$ }$ 余りを $3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{1} $x$ }$ とすると

$3$\displaystyle{ P $x$ =\hspace{1}{S}_{1} $x$ Q $x$ +\hspace{1}{R}_{1} $x$ }$ ･･････(1)

と表すことができる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{1} $x$ }$ の次数を， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{s}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{1} $x$ }$ の次数を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{r}_{1} }$ とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{k}_{P}=\hspace{1}{s}_{1}+\hspace{1}{l}_{Q} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{r}_{1}< \hspace{1}{l}_{Q} }$

の関係がある．

また，(1)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{1}\left({x}\right)=P\left({x}\right)- \hspace{1}{S}_{1}\left({x}\right)Q\left({x}\right)}$ ･･････(2)

となる．

次に， $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{1} $x$ }$ で割ったときの商を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{2} $x$ }$ ，余りを $3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{2} $x$ }$ とすると

$3$\displaystyle{ Q $x$ =\hspace{1}{S}_{2} $x$ \hspace{1}{R}_{1} $x$ +\hspace{1}{R}_{2} $x$\hspace{10} }$ ･･････(3)

と表すことができる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{2} $x$ }$ の次数を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{s}_{2} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{2} $x$ }$ の次数を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{r}_{2} }$ とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{l}_{Q}=\hspace{1}{s}_{2}+\hspace{1}{r}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{r}_{2}< \hspace{1}{r}_{1} }$

の関係がある．

また，(3)より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{2} $x$ =Q $x$ - \hspace{1}{S}_{2} $x$ \hspace{1}{R}_{1} $x$ }$ ･･････(4)

と表すことができる．

このような操作を余りの次数が0次，すなわち余りが定数項のみになるまで繰り返す．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{3} $x$ =\hspace{1}{R}_{1} $x$ - \hspace{1}{S}_{3} $x$ \hspace{1}{R}_{2} $x$ }$ ･･････(5-1)

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{4} $x$ =\hspace{1}{R}_{2} $x$ - \hspace{1}{S}_{4} $x$ \hspace{1}{R}_{3} $x$ }$ ･･････(5-2)

　　・・・

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{ n- 1 } $x$ =\hspace{1}{R}_{ n- 3 } $x$ - \hspace{1}{S}_{ n- 1 } $x$ \hspace{1}{R}_{ n- 2 } $x$ }$ ･･････(5-n-3)

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{n} $x$ =\hspace{1}{R}_{ n- 2 } $x$ - \hspace{1}{S}_{n} $x$ \hspace{1}{R}_{ n- 1 } $x$ }$ ･･････(5-n-2)

となり

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{n}$x$ }$ の次数 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{r}_{n} }$ は0である（ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{r}_{n} }$ =0）．よって

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{R}_{n}$x$=C }$ ･･････(6)

$3$\displaystyle{C}$ はある値）

となる．(2)を(4)に代入する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{2}\left({x}\right)=Q\left({x}\right)- \hspace{1}{S}_{2}\left({x}\right)\left{{ P\left({x}\right)- \hspace{1}{S}_{1}\left({x}\right)Q\left({x}\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=- \hspace{1}{S}_{2}\left({x}\right)P\left({x}\right)+\left{{ 1+\hspace{1}{S}_{1}\left({x}\right)\hspace{1}{S}_{2}\left({x}\right) }\right}Q\left({x}\right)}$ ･･････(7)

(5-1)に(2)と(7)を代入する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{3}\left({x}\right)=\left{{ P\left({x}\right)- \hspace{1}{S}_{1}\left({x}\right)Q\left({x}\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{- \hspace{1}{S}_{3}\left({x}\right)\left[{ - \hspace{1}{S}_{2}\left({x}\right)P\left({x}\right)+\left{{ 1+\hspace{1}{S}_{1}\left({x}\right)\hspace{1}{S}_{2}\left({x}\right) }\right}Q\left({x}\right) }\right]}$

$3$\displaystyle{=\left{{ 1+\hspace{1}{S}_{2}\left({x}\right)\hspace{1}{S}_{3}\left({x}\right) }\right}P\left({x}\right)}$ $3$\displaystyle{+\left[{ - \hspace{1}{S}_{1}\left({x}\right)- \left{{ 1+\hspace{1}{S}_{1}\left({x}\right)\hspace{1}{S}_{2}\left({x}\right) }\right}\hspace{1}{S}_{3}\left({x}\right) }\right]Q\left({x}\right)}$ ･･････(8)

このような操作を繰り返すと，一般に以下のように表すことができる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{n}\left({x}\right)=\hspace{1}{T}_{n}\left({x}\right)P\left({x}\right)+\hspace{1}{U}_{n}\left({x}\right)Q\left({x}\right)}$ ･･････(9)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{T}_{n}\left({x}\right)}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{U}_{n}\left({x}\right)}$ は多項式

(9)に(6)を代入すると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{T}_{n}\left({x}\right)P\left({x}\right)+\hspace{1}{U}_{n}\left({x}\right)Q\left({x}\right)=C }$ ･･････(10) 　

の形で表される．(10)の両辺を $3$\displaystyle{C}$ で割ると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}C\hspace{2}}\left{{ \hspace{1}{T}_{n}\left({x}\right)P\left({x}\right)+\hspace{1}{U}_{n}\left({x}\right)Q\left({x}\right) }\right}=1 }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}C\hspace{2}}\hspace{1}{T}_{n}\left({x}\right)=V\left({x}\right),\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}C\hspace{2}}\hspace{1}{U}_{n}\left({x}\right)=W\left({x}\right) }$ とおくと

$3$\displaystyle{ V $x$ P $x$ +W $x$ Q $x$ =1 }$ ･･････(11)

となる．

(11)の両辺に $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$ をかける．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ V $x$ P $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} G $x$ W $x$ Q $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$ ･･････(12) 　

(12)の左辺の $3$\displaystyle{ F $x$ }$ に $3$\displaystyle{ F $x$ =P $x$ Q $x$ }$ を代入する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ V $x$ P $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ Q $x$ \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} G $x$ W $x$ Q $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ Q $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ V $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} G $x$ W $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$ ･･････(13)

$3$\displaystyle{ G $x$ W $x$ }$ を $3$\displaystyle{ P $x$ }$ で割ったときの商を $3$\displaystyle{ X $x$ }$ , 余りを $3$\displaystyle{ A $x$ }$ ， $3$\displaystyle{ G $x$ V $x$ }$ を $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ で割ったときの商を $3$\displaystyle{ Y $x$ }$ , 余りを $3$\displaystyle{ B $x$ }$ とすると ( $3$\displaystyle{ A $x$ }$ は $3$\displaystyle{ P $x$ }$ より低次数, $3$\displaystyle{ B $x$ }$ は $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ より低次数となる. )

$3$\displaystyle{ G $x$ W $x$ =X $x$ P $x$ +A $x$ }$ ･･････(14)

$3$\displaystyle{ G $x$ V $x$ =Y $x$ Q $x$ +B $x$ }$ ･･････(15)

となる．(14)に(15), (13)を代入する.

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} Y $x$ Q $x$ +B $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} X $x$ P $x$ +A $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \left{{ Y\left({x}\right)Q\left({x}\right)+B\left({x}\right) }\right}P\left({x}\right)+\left{{ X\left({x}\right)P\left({x}\right)+A\left({x}\right) }\right}Q\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} Q\left({x}\right)P\left({x}\right) \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} G\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} F\left({x}\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} Y\left({x}\right)P\left({x}\right)Q\left({x}\right)+B\left({x}\right)P\left({x}\right)+X\left({x}\right)P\left({x}\right)Q\left({x}\right)+A\left({x}\right)Q\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} Q\left({x}\right)P\left({x}\right) \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} G\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} F\left({x}\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \left{{ Y\left({x}\right)+X\left({x}\right) }\right}P\left({x}\right)Q\left({x}\right)+B\left({x}\right)P\left({x}\right)+A\left({x}\right)Q\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} Q\left({x}\right)P\left({x}\right) \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} G\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} F\left({x}\right) \hspace{2}} }$ ･･････(16)

$3$\displaystyle{ P $x$ Q $x$ }$ の次数は $3$\displaystyle{ \hspace{1}{k}_{P}+\hspace{1}{l}_{Q}=m }$ で分子の次数（ $3$\displaystyle{ G\left({x}\right) }$ の次数） $3$\displaystyle{n}$ より大きい．よって

$3$\displaystyle{ Y $x$ +X $x$ =0 }$

となる．よって，(16)は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} B $x$ P $x$ +A $x$ Q $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ P $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$
$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} A $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} B $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ \hspace{2}} }$ ･･････(17) 　

となり， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} F $x$ \hspace{2}} }$ は，と $3$\displaystyle{ P $x$ }$ ， $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ を分母とする分数 $3$\displaystyle{}$ ，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{A}_{1} $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{B}_{1} $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{A}_{2} $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{B}_{2} $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ \hspace{2}} }$ ･･････(18) 　

とおく．(18)を以下のように変形する．

$3$\displaystyle{ \{ \hspace{1}{A}_{1} $x$ - \hspace{1}{A}_{2} $x$ \} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} P $x$ \hspace{2}}+ \{ \hspace{1}{B}_{1} $x$ - \hspace{1}{B}_{2} $x$ \} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ \hspace{2}}=0 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{A}_{1} $x$ - \hspace{1}{A}_{2} $x$ =- \{ \hspace{1}{B}_{1} $x$ - \hspace{1}{B}_{2} $x$ \} \frac{\hspace{2} P $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} Q $x$ \hspace{2}} }$ ･･････(19)

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{A}_{1} $x$ - \hspace{1}{A}_{2} $x$ }$ が整式になるためには

(i) $3$\displaystyle{ \hspace{1}{B}_{1} $x$ - \hspace{1}{B}_{2} $x$ =0 }$ で $3$\displaystyle{ \hspace{1}{A}_{1} $x$ - \hspace{1}{A}_{2} $x$ =0 }$ となる場合

あるいは

(ii) $3$\displaystyle{ \hspace{1}{B}_{1} $x$ - \hspace{1}{B}_{2} $x$ }$ が $3$\displaystyle{ Q $x$ }$ を因数として含む場合

である．

(ii)の場合

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{B}_{1} $x$ - \hspace{1}{B}_{2} $x$ =Q $x$ \hspace{1}{B}_{3} $x$ }$

とおくと

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{A}_{1} $x$ - \hspace{1}{A}_{2} $x$ =- \hspace{1}{B}_{3} $x$ P $x$ }$ ･･････(20)

となる．(20)の左辺の次数の最大値は， $3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{1}\left({x}\right)}$ の次数，あるいは， $3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{2}\left({x}\right)}$ である．

一方，(20)の右辺の次数の最小値は， $3$\displaystyle{ P\left({x}\right) }$ の次数である．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{1}\left({x}\right)}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{2}\left({x}\right)}$ の次数は， $3$\displaystyle{ P\left({x}\right) }$ の次数より低い．よって(20)が成り立つことはない．すなわち，(ii)の場合は存在せず，(i)の場合だけである．

したがって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{1}\left({x}\right)=\hspace{1}{A}_{2}\left({x}\right)}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{B}_{1}\left({x}\right)=\hspace{1}{B}_{2}\left({x}\right)}$

となり，部分分数分解は一意に決まる．

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最終更新日： 2025年1月6日