部分分数分解の一意性(2)

$3$\displaystyle{ P\left({x}\right) }$ は $3$\displaystyle{m}$ 次の整式とし， $3$\displaystyle{ { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{n} }$ と $3$\displaystyle{k}$ 次の整式 $3$\displaystyle{ G\left({x}\right) }$ からなる有理関数（ただし， $3$\displaystyle{ mn> k }$ ）

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{n} \hspace{2}} }$

は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{n} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} A\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{n} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} B\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{ n- 1 } \hspace{2}} }$

のように， $3$\displaystyle{ { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{n} }$ と $3$\displaystyle{ { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{ n- 1 } }$ を分母とする分数，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

このとき，整式 $3$\displaystyle{ A\left({x}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ B\left({x}\right) }$ の次数を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{i}_{A} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{j}_{B} }$ とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{i}_{A}< m }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{j}_{B}< m\left({ n- 1 }\right) }$

である．

■証明

(1)を通分すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} G\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{n} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} A\left({x}\right)+B\left({x}\right)P\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left{{ P\left({x}\right) }\right} }^{n} \hspace{2}} }$ 　･･････(2)

となり

$3$\displaystyle{ G\left({x}\right)=A\left({x}\right)+B\left({x}\right)P\left({x}\right) }$ 　･･････(3)

の関係が得られる．

と表すことができる．

(3)は $3$\displaystyle{ G\left({x}\right) }$ を $3$\displaystyle{ P\left({x}\right) }$ で割ったときの商が $3$\displaystyle{ B\left({x}\right) }$ ，余りが $3$\displaystyle{ A\left({x}\right) }$ となることを示している．

$3$\displaystyle{ G\left({x}\right) }$ の次数が $3$\displaystyle{k}$ ， $3$\displaystyle{ P\left({x}\right) }$ の次数が $3$\displaystyle{m}$ より

$3$\displaystyle{ A\left({x}\right) }$ の次数 $3$ \hspace{1}{i}_{A}$ は， $3$ \hspace{1}{i}_{A}< m$

$3$ B\left({x}\right)$ の次数 $3$ \hspace{1}{j}_{B}$ は， $3$ \hspace{1}{j}_{B}=k- m< nm- m=m\left({ n- 1 }\right)$

(3)は一意に決まるので，(1)も一意に決まる．

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最終更新日： 2025年1月6日