解と係数の関係

2次方程式 $3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c=0}$ の解を $3${\alpha}$ ， $3${\beta}$ とすると，解と係数の間には次の関係がある．

$3$\displaystyle{{\alpha}+{\beta}=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\text{\hspace{5}},\text{\hspace{5}\hspace{5}}{\alpha}{\beta}=\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$

この関係を解と係数の関係という．このページも参考にしてください．

■解と係数の関係の導出

2方程式

$3$ a{x}^{2}+bx+c =0$ ･･････(1)

の解を $3${\alpha},{\beta}$ とすると，因数定理と $3$\displaystyle{{x}^{2}}$ の係数が $3$a$ より(1)は

$3$ a$ x-{\alpha} $$ x-{\beta} $ =0$ ･･････(2)

と書きかえることができる．(2)を展開すると

$3$\displaystyle{ a\left({ x- \alpha }\right)\left({ x- {\beta} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =a{x}^{2}- a\left({ \alpha +{\beta} }\right)x+a\alpha {\beta} }$ ･･････(3)

となる．(1)と(3)の係数を比較すると

$3$\displaystyle{ \alpha +{\beta}=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \alpha {\beta}=\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

となり，解と係数の関係が得られる．

あるいは，以下の方法でも確認できる．

$3${\alpha}$ と $3${\beta}$ は解の公式より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} - b+\sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}\text{\hspace{5}\hspace{5}},\text{\hspace{5}}\frac{\hspace{2} - b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$

となる． $3$\displaystyle{ {\alpha}+{\beta} }$ ， $3$\displaystyle{{\alpha}{\beta}}$ を計算すると

$3$\displaystyle{ {\alpha}+ {\beta}=\frac{\hspace{2} - b+ \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} + \frac{\hspace{2} - b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 2b \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}=\displaystyle{- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}} }$

$3$\displaystyle{ \alpha {\beta} =\left({ \frac{\hspace{2} - b+\sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right)\left({ \frac{\hspace{2} - b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \left({ - b }\right) }^{2}- { \left({ \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \left({ - b }\right) }^{2}- \left({ {b}^{2}- 4ac }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4ac \hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

解と係数の関係が成り立っていることがわかる．

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最終更新日： 2025年4月26日