2次方程式 $3$a{x}^{2}+bx+c=0\text{\hspace{5}} $ a\neq 0 $$ の解き方

■解の公式による解き方

$3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2} - b\pm \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} }$ ( $3$\displaystyle{{b}^{2}- 4ac\geq 0}$ の場合，判別式を参照)

■因数分解による解き方

まず下に示すように因数分解する（ここを参照）．

$3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c=0}$ → $3$ $ px+q $ $ rx+s $ =0$

これより，答えは

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}q\hspace{2}}{\hspace{2}p\hspace{2}}\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} },\text{\hspace{1} }- \frac{\hspace{2}s\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}}}$

■考え方

2次方程式

$3$ a{x}^{2}+bx+c =0$ ･･････(1)

は2次関数

$3$ y= a{x}^{2}+bx+c$ ･･････(2)

において $3$y$ の値が $3$\hspace{5}0\hspace{5}$ の場合に相当する．これをグラフで示すと，方程式(1)を満たす $3$x$ の値は，グラフ $3$ y= a{x}^{2}+bx+c$ の $3$x$ 軸上の点に対応する．すなわち，方程式 $3$ a{x}^{2}+bx+c =0$ の解 $3$x$ は， $3$ y= a{x}^{2}+bx+c$ と $3$x$ 軸との交点の $3$x$ 座標の値と考えることができる．2次方程式(1)の解を $3${\alpha},{\beta}$ とすると，(1)は因数定理と $3$\displaystyle{{x}^{2}}$ の係数が $3$a$ より，

$3$ a$ x-{\alpha} $$ x-{\beta} $ =0$ ･･････(3)

と書きかえることができる．(3)式を展開すると，

$3$\begin{array}{lll} \text{\hspace{1} \hspace{1} }a$ x-{\alpha} $$ x-{\beta} $& \vspace{6}\\ = a{x}^{2}-a$ {\alpha}+{\beta} $x+a{\alpha}{\beta} & \vspace{6}\\ \end{array}$ ･･････(4)

となる．(1)と(4)の係数を比較すると

$3$\displaystyle{ {\alpha}+{\beta} = -\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$ ･･････(5)

$3$\displaystyle{ {\alpha}{\beta} = \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$ ･･････(6)

の関係が得られる．これを解と係数の関係という．

(1)を(3)のように書き直すことができれば，2次方程式の解を求めることができる．

(1)を(3)のように書き直すと（式の変形はここを参照）

$3$\displaystyle{ a $ x+\frac{\hspace{2} b+\sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} $ $ x+\frac{\hspace{2} b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}} $ =0 }$ ･･････(7)

となる．よって，2次方程式 $3$ a{x}^{2}+bx+c =0$ の解は

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} - b\pm \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$ ･･････(8)

となる．(8)は2次方程式の解の公式である．

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>2次方程式の解き方

最終更新日： 2024年6月21日

2次方程式 の解き方

■解の公式による解き方

■因数分解による解き方

■考え方

2次方程式 $3$a{x}^{2}+bx+c=0\text{\hspace{5}} \( a\neq 0 \)$ の解き方