因数定理

整式 $3$\displaystyle{ F$x$ }$ が $3$\displaystyle{ x- {\alpha} }$ で割りきれるとすると

$3$\displaystyle{ F${\alpha}$=0 }$

となる．

■解説

因数定理は，剰余定理の余り $3$\displaystyle{r=0}$ の場合である．因数分解をするとき，この因数定理を利用すると因数を見つけやすくなる．特に，整式が3次以上の場合に有効である．

$3$\displaystyle{F ${\alpha}$ =0 }$ ならば， $3$\displaystyle{ $ x- {\alpha} $ }$ が因数となり

$3$\displaystyle{F $x$ = $ x- {\alpha} $ G $x$ }$

と表される．　

$3$\displaystyle{F $x$ }$ に定数項がある場合， $3$\displaystyle{{\alpha}}$ は定数項の約数（因数）である．定数項がない場合は最低次数の項の係数の約数（因数）である．

■事例

因数定理を利用して

$3$\displaystyle{6{x}^{3}+35{x}^{2}+19x- 30}$

を因数分解する．

定数項 $3$30$ の約数は

$3$1$ ， $3$2$ ， $3$3$ ， $3$55$ ， $3$6$ ， $3$15$ ， $3$30$ ， $3$- 1$ ， $3$- 2$ ， $3$- 3$ ， $3$- 5$ ， $3$- 6$ ， $3$- 15$ ， $3$- 30$

である．

計算が容易になる絶対値の小さい約数から $3$\displaystyle{F\left({\alpha }\right)}$ の値を計算する．

$3$\displaystyle{F\left({1}\right)=6\cdot {1}^{3}+35\cdot {1}^{2}+19\cdot 1- 30}$

$3$\displaystyle{=6\cdot 1+35\cdot 1+19\cdot 1- 30}$

$3$\displaystyle{=6+35+19- 30}$

$3$\displaystyle{=30}$

$3$\displaystyle{F\left({x}\right)}$ の特徴より， $3$\displaystyle{F\left({1}\right)}$ で既に正の値であるので，1より大きい数 $3$\alpha$ で $3$\displaystyle{F\left({\alpha }\right)=0}$ になることはない．よって，次からは負の約数について調べる．

$3$\displaystyle{F\left({ - 1 }\right)=6\cdot {\left({ - 1 }\right)}^{3}+35\cdot {\left({ - 1 }\right)}^{2}+19\cdot \left({ - 1 }\right)- 30}$

$3$\displaystyle{=6\cdot \left({ - 1 }\right)+35\cdot 1+19\cdot \left({ - 1 }\right)- 30}$

$3$\displaystyle{=- 6+35- 19- 30}$

$3$\displaystyle{=- 20}$

$3$\displaystyle{F\left({ - 2 }\right)=6\cdot {\left({ - 2 }\right)}^{3}+35\cdot {\left({ - 2 }\right)}^{2}+19\cdot \left({ - 2 }\right)- 30}$

$3$\displaystyle{=6\cdot \left({ - 8 }\right)+35\cdot 4+19\cdot \left({ - 2 }\right)- 30}$

$3$\displaystyle{=- 48+140- 38- 30}$

$3$\displaystyle{=24}$

$3$\displaystyle{F\left({ - 3 }\right)=6\cdot {\left({ - 3 }\right)}^{3}+35\cdot {\left({ - 3 }\right)}^{2}+19\cdot \left({ - 3 }\right)- 30}$

$3$\displaystyle{=6\cdot \left({ - 27 }\right)+35\cdot 9+19\cdot \left({ - 3 }\right)- 30}$

$3$\displaystyle{=- 162+315- 57- 30}$

$3$\displaystyle{=66}$

$3$\displaystyle{F\left({ - 5 }\right)=6\cdot {\left({ - 5 }\right)}^{3}+35\cdot {\left({ - 5 }\right)}^{2}+19\cdot \left({ - 5 }\right)- 30}$

$3$\displaystyle{=6\cdot \left({ - 125 }\right)+35\cdot 25+19\cdot \left({ - 5 }\right)- 30}$

$3$\displaystyle{=- 750+875- 95- 30}$

$3$\displaystyle{=0}$

よって， $3$\displaystyle{6{x}^{3}+35{x}^{2}+19x- 30}$ は $3$\displaystyle{x+5}$ を因数に持つ．

$3$\displaystyle{\begin{array}{rrrr} &\hspace{5}& x+5 & \bar{ \)6{x}^{3}+35{x}^{2}+19x- 30 } & \vspace{6}\\ &\hspace{5}& &\hspace{5} &\hspace{5}& &\hspace{5} & - 6x- 30 & \vspace{6}\\ &\hspace{5}& \vspace{6}\\ & \vspace{6}\\ \vspace{6}\\ & \vspace{6}\\ \vspace{6}\\ \vspace{6}\\ \end{array}}$

これより

$3$\displaystyle{ 6{x}^{3}+35{x}^{2}+19x- 30 }$

$3$\displaystyle{=\left({ x+5 }\right)\left({ 6{x}^{2}+5x- 6 }\right)}$

たすきがけ手法による因数分解をして

$3$\displaystyle{=\left({ x+5 }\right)\left({ 2x+3 }\right)\left({ 3x- 2 }\right)}$

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最終更新日： 2025年12月19日