sinθ+cosθ＝Cが与えられている問題の解き方

三角関数の問題で，よく出題されるのが， $3$\displaystyle{ \sin {\theta}+\cos {\theta}=C }$ という条件が与えられ， $3$\displaystyle{ \sin {\theta} }$ ， $3$\displaystyle{ \cos {\theta} }$ からなる対称式の値を求めよというような問題がある．ただし， $3$\displaystyle{C}$ は定数である．

この場合， $3$\displaystyle{ \sin {\theta}+\cos {\theta}=C }$ の両辺を2乗して，式を変形し $3$\displaystyle{\sin {\theta}\cos {\theta}}$ の値を求める．

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{ $ \sin {\theta}+\cos {\theta} $ }^{2}={C}^{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{\sin }^{2}{\theta}+2\sin {\theta}\cos {\theta}+{\cos }^{2}{\theta}={C}^{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}1+2\sin {\theta}\cos {\theta}={C}^{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　　 $3$\displaystyle{\begin{array}{lll} $ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet { \sin }^{2}{\theta}+{ \cos }^{2}{\theta}=1 $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

$3$\displaystyle{\sin {\theta}\cos {\theta}=\frac{\hspace{2} {C}^{2}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となり， $3$\displaystyle{\sin {\theta}\cos {\theta}}$ の値を求めることができる．対称式は，基本対称式で表わすことができるので

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin {\theta}+\cos {\theta}=C& \vspace{6}\\ \sin {\theta}\cos {\theta}=\displaystyle{\frac{\hspace{2} {C}^{2}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

から，対称式の値を求めることができる．

　また， $3$\displaystyle{ \sin {\theta}+\cos {\theta}=C }$ のとき， $3$\displaystyle{ \sin {\theta} }$ ， $3$\displaystyle{ \cos {\theta} }$ の値を求めよという問題もよくある．

　この場合は， $3$\displaystyle{ \sin {\theta} }$ ， $3$\displaystyle{ \cos {\theta} }$ を2次方程式の解 $3$\displaystyle{{\alpha}}$ ， $3$\displaystyle{{\beta}}$ と考えると

は解と係数の関係に相当するので

$3$\displaystyle{ {x}^{2}- Cx+\frac{\hspace{2} {C}^{2}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=0 }$

の2次方程式の解を求めることにより， $3$\displaystyle{ \sin {\theta} }$ ， $3$\displaystyle{ \cos {\theta} }$ の値を求めることができる．

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最終更新日： 2023年3月10日