定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } x\cos 2xdx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ 　･･････(1)

部分積分法より

$3$\displaystyle{\int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx}$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx}$ 　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int x\cos 2xdx }$ を求める．

$3$\displaystyle{\int x\cos 2xdx=\int x{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ }^{\prime } dx }$ 　

と見て部分積分法を用いる．

与式 $3$\displaystyle{=\int x{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ }^{\prime } dx}$ 　

$3$\displaystyle{=x\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ - \int {x}^{\prime }\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ dx}$ 　

（部分積分法の公式を適用する）

$3$\displaystyle{ =x\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ - \int 1\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x $ dx }$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x\sin 2x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int \sin 2x dx}$ 　

（ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ を積分記号 $3$\displaystyle{\int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x\sin 2x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos 2x $ +C}$ 　

（ $3$\displaystyle{ \int \sin 2xdx }$ の計算については，三角関数の積分を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x\sin 2x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x+C}$ 　

（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）
（これが $3$\displaystyle{ x\cos 2x }$ の原始関数である）

よって，定積分計算方法(ヒントの式(1))より

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } x\cos 2x dx }$ $3$\displaystyle{ = \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x\sin 2x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x \] _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$

となる．

$3$\displaystyle{ = \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x\sin 2x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 2x \] _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ 　

$3$\displaystyle{ = $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin {\pi}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos {\pi} $ }$ $3$\displaystyle{ - $ 0+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos 0 $ }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ 　

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最終更新日： 2025年10月28日