置換積分の問題

■問題

曲線 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right)={x}^{2} }$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸と直線 $3$\displaystyle{x=1}$ ， $3$\displaystyle{x=3}$ で囲まれた面積を右端区分求積法より求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}26\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■ヒント

区分求積法を参考にする．

■解説

区間 $3$\displaystyle{\left[{ 1,3 }\right]}$ を $3$\displaystyle{n}$ 等分する． $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}=1}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}=3}$ とし，間の分点を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{ i- 1 }}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{i}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{ n- 1 }}$ とする．右端区分求積法を用いるので図のように求める面積を長方形の面積の和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}}$ で近似する．

$3$i$ 番目の長方形の面積 $3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{i}}$ を求める．

$3$i$ 番目の長方形の幅： $3$\displaystyle{{\Delta}x=\frac{\hspace{2} 3- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ ･･････(1)

$3$i$ 番目の長方形の高さ： $3$\displaystyle{f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)=f\left({ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}i }\right)={\left({ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}i }\right)}^{2}}$ ･･････(2)

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{i}=f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right){\Delta}x}$ $3$\displaystyle{={\left({ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}i }\right)}^{2}\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ ･･････(3)

となる．

$3$\displaystyle{n}$ 個の長方形の面積の和を $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}}$ とすると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{A}_{i}={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}i }\right)}^{2}\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ ･･････(4)

となる．

求める面積 $3$\displaystyle{S}$ は

$3$\displaystyle{S={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{S}_{n}}$ （このページの参考を参照）　･･････(5)

より

$3$\displaystyle{S={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}i }\right)}^{2}\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ ･･････(6)

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}}i+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}{i}^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}1+{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}i+{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{i}^{2}}$

（ $3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {i}^{2} }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n\left({ n+1 }\right)\left({ 2n+1 }\right)}$ はここを参照， $3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}i}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}n\left({ n+1 }\right)}$ はここを参照．）

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot n+{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} n\left({ n+1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} n\left({ n+1 }\right)\left({ 2n+1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }2+{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }4\cdot 1\cdot \left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)+{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot 1\cdot \left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)\left({ 2+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=2+4+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 26 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

この右端型の区分求積法を定積分の式で表すと

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}i }\right)}^{2}\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=\displaystyle{ \int _{1}^{3} {x}^{2}dx }}$ ･･････(7)

となる．この定積分を計算すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{1}^{3} {x}^{2}dx }=\left[{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3} }\right]_{1}^{3}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {3}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {1}^{3}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 26 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ･･････(8)

となり，当然ながら，(6)の計算結果と一致している．

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最終更新日： 2025年6月9日