定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{1}^{3} {4}^{x} dx }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 30 \hspace{2}}{\hspace{2} \log 2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ ･･････(1)

基本となる関数の積分の指数／対数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {a}^{x} dx=\frac{\hspace{2} {a}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int {4}^{x} dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{ \int {4}^{x} dx }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {4}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 4 \hspace{2}}+C}$

（ヒントの式(2)を適用した）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {4}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log {2}^{2} \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {4}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}}+C}$

（ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{ \log }_{a}R }$ を参照）
（これが $3$\displaystyle{ {4}^{x} }$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(2))より

$3$\displaystyle{\int _{1}^{3} {4}^{x} dx= \[ \frac{\hspace{2} {4}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}} \] _{1}^{3}}$

となる．

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2} {4}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}} \] _{1}^{3}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}} $ {4}^{3}- {4}^{1} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}} $ 64- 4 $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 60 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 30 \hspace{2}}{\hspace{2} \log 2 \hspace{2}}}$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年10月28日