定積分
■問題
次の定積分の値を求めよ.
■解説動画
■答
■解説
とおいて，置換積分を行う．
を両辺
で微分すると，
となる．
に，積分範囲の上端，下端を代入すると
のとき，
のとき，
となる．
積分変数を
から
に変換すると，
%5c(1-%20t%5c)%20%20%5chspace{2}}%20%20%20%20}})
分数関数の積分になるので，部分分数に分解をする．
%5c(1-%20t%5c)%20%20%5chspace{2}}=%5cfrac{%5chspace{2}A%5chspace{2}}{%5chspace{2}%201+t%20%20%5chspace{2}}+%5cfrac{%5chspace{2}B%5chspace{2}}{%5chspace{2}%201-%20t%20%20%5chspace{2}}})
･･････(1)
とすると，
+B%5c(1+t%5c)%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20%5c(1+t%5c)%5c(1-%20t%5c)%20%20%5chspace{2}}%5cdisplaystyle{=%5cfrac{%5chspace{2}%20A-%20At+B+Bt%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20%5c(1+t%5c)%5c(1-%20t%5c)%20%20%5chspace{2}}}})
+%5c(B-%20A%5c)t%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20%5c(1+t%5c)%5c(1-%20t%5c)%20%20%5chspace{2}}})
(1)より，
よって，
，
})
よって(1)に代入して，
%5c(1-%20t%5c)%20%20%5chspace{2}}%5cdisplaystyle{=%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}%5ccdot%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}%201+t%20%20%5chspace{2}}+%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}2%5chspace{2}}%5ccdot%20%5cfrac{%5chspace{2}1%5chspace{2}}{%5chspace{2}%201-%20t%20%20%5chspace{2}}}})
=
1
2
(
1
1
+
t
+
1
1
−
t
)
与式
%20%20%20%20%20%20}dt})
（
の積分についてはここを参照）
%20%20})
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最終更新日：
2025年9月7日