定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }^{2} {8}^{x} dx}$ 　　

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 62 \hspace{2}}{\hspace{2} 3\log 2 \hspace{2}}}$ 　　

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ 　･･････(1)

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {a}^{x}dx=\frac{\hspace{2} {a}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ $3$\displaystyle{\int {8}^{x} dx}$ を求めておく．

ヒントの式(2)より

$3$\displaystyle{\int {8}^{x} dx}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {8}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 8 \hspace{2}}+C}$ 　　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {2}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} \log {2}^{3} \hspace{2}}+C}$ 　　

（ $3$\displaystyle{{8}^{x}={2}^{ 3x }}$ 　（つまり　 $3$\displaystyle{8={2}^{3}}$ 　）は累乗を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {2}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} 3\log 2 \hspace{2}}+C}$ 　　

（ $3$\displaystyle{\log {2}^{3}=3\log 2}$ は対数計算の基本を参照．これが $3$\displaystyle{{8}^{x}}$ の原始関数である）

定積分の計算(ヒントの式(1))り

$3$\displaystyle{\int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }^{2} {8}^{x} dx}$ 　 $3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2} {2}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} 3\log 2 \hspace{2}} \] _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }^{2}}$ 　　

となる．

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2} {2}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} 3\log 2 \hspace{2}} \] _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }^{2}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3\log 2 \hspace{2}} $ {2}^{ 3\cdot 2 }- {2}^{ 3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3\log 2 \hspace{2}} $ {2}^{6}- {2}^{1} $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3\log 2 \hspace{2}} $ 64- 2 $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 62 \hspace{2}}{\hspace{2} 3\log 2 \hspace{2}}}$ 　　

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最終更新日： 2023年11月24日