定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{2}^{5} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\log 2x \hspace{2}}dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log $ \frac{\hspace{2} \log 10 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}} $ }$

■ヒント

定積分の基本式より，定理

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$

置換積分法より

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $x$ dx=\int _{{\alpha}}^{{\beta}} f $ g \(t$ \) {g}^{\prime } $t$ dt }$

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\log 2x \hspace{2}}dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{ \log 2x=t }$ ･･････(1)

とおいて置換積分をする．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x \hspace{2}} }$ ∴ $3$\displaystyle{ dt=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x \hspace{2}}dx }$ ･･････(2)

（ $3$\displaystyle{\log 2x}$ を微分すると $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x \hspace{2}}}$ になるのは微分 $3$\displaystyle{ \log x }$ 　を参照）

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 2x \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt }$

上の式に(1)，(2)を代入する

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}}\cdot \log t+C }$

（基本となる関数の積分を参照）
（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

ここで， $3$\displaystyle{ \log 2x=t }$ と置換していることより

$3$\displaystyle{ x=2 }$ のとき　 $3$\displaystyle{ t=\log 4 }$ ， $3$\displaystyle{ x=5 }$ のとき　 $3$\displaystyle{ t=\log 10 }$

よって

$3$\displaystyle{ \int _{2}^{5} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\log 2x \hspace{2}} dx=\int _{ \log 4 }^{ \log 10 } \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}} \[ \log t \] _{ \log 4 }^{ \log 10 } }$

（置換積分法を参照）

となる．

与式 $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}} \[ \log t \] _{ \log 4 }^{ \log 10 } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ \log \left({ \log 10 }\right)- \log \left({ \log 4 }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log $ \frac{\hspace{2} \log 10 \hspace{2}}{\hspace{2} \log 4 \hspace{2}} $ }$

（ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{a}R- \hspace{1}{\log }_{a}S}$ の証明を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log $ \frac{\hspace{2} \log 10 \hspace{2}}{\hspace{2} \log {2}^{2} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log $ \frac{\hspace{2} \log 10 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}} $ }$

（ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{ \log }_{a}R }$ の証明を参照）

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最終更新日： 2025年10月28日