弾性力のした仕事

■問題

質量 $3$\displaystyle{M}$ の物体があり，図のようにばねでつながれている．物体を原点から点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ までゆっくりと動かしたとき，弾性力のした仕事を求めよ．ただし，ばね定数は $3$\displaystyle{k}$ ，ばねの自然長は $3$\displaystyle{l}$ とし，物体はばねの弾性力により持ち上がることはないとする．

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k{ $ \sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} }- l $ }^{2} }$

■ヒント

弾性力，仕事

■解説

図のように物体の移動方向を $3$\displaystyle{x}$ 軸の正方向とする．また，物体の位置を $3$\displaystyle{x}$ で表すこととする．

物体の位置が $3$\displaystyle{x}$ のときのばねの伸び $3$\displaystyle{ {\Delta}l }$ は， $3$\displaystyle{x}$ まで移動したときのばねの長さから元のばねの長さ $3$\displaystyle{l}$ を引いたものである．

ここで， $3$\displaystyle{x}$ まで移動したときのばねの長さを $3$\displaystyle{{l}^{\prime }}$ とすると， $3$\displaystyle{{l}^{\prime }}$ は三平方の定理より

$3$\displaystyle{ {l}^{\prime }=\sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } }$ 　

したがって

$3$\displaystyle{ {\Delta}l={l}^{\prime }- l }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} }- l }$ 　

よって，ばねの弾性力 $3$\displaystyle{\displaystyle{F}}$ の大きさ $3$\displaystyle{\left|{\displaystyle{F}}\right|}$ は

$3$\displaystyle{ \left|{\displaystyle{F}}\right|=k{\Delta}l }$ $3$\displaystyle{ =k $ \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} }- l $ }$ 　

となる．

図のように $3$\displaystyle{x}$ 軸と弾性力のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ とすると，三角関数の定義より

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2} - x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } \hspace{2}}}$ 　

となる．

物体を位置 $3$\displaystyle{x}$ から $3$\displaystyle{ dx }$ だけ動かした時にかかる弾性力のした仕事　 $3$\displaystyle{ dW }$ は

$3$\displaystyle{dW=\left({ \left|{\displaystyle{F}}\right|\cos {\theta} }\right)dx}$ $3$\displaystyle{=k\left({ \sqrt{ {l}^{2}- {x}^{2} }- l }\right)\cdot \left({ - \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } \hspace{2}} }\right)dx}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} kx\left({ \sqrt{ {l}^{2}- {x}^{2} }- l }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } \hspace{2}}dx}$

となる．従って，物体を原点 $3$\displaystyle{O}$ から点 $3$\displaystyle{A}$ まで動かした時の弾性力のした仕事　 $3$\displaystyle{W}$ は

$3$\displaystyle{ W=- \int _{0}^{d} \frac{\hspace{2} kx $ \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} }- l $ \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } \hspace{2}} dx }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \int _{0}^{d} $ kx- \frac{\hspace{2} klx \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } \hspace{2}} $ dx }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \int _{0}^{d} kxdx+\int _{0}^{d} \frac{\hspace{2} klx \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } \hspace{2}} dx }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k{x}^{2} \] _{0}^{d}+ \[ klt \] _{l}^{ \sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} } } }$ 　

( $3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{0}^{d}\frac{\hspace{2} klx \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {l}^{2}+{x}^{2} } \hspace{2}}dx=\left[{ klt }\right]_{l}^{ \sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} } }}$ の計算はここを参照)

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k{d}^{2}+kl\sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} }+k{l}^{2} }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k $ {d}^{2}- 2l\sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} }+2{l}^{2} $ }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k $ {l}^{2}+{d}^{2}- 2l\sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} }+{l}^{2} $ }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k \{ { $ \sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} } $ }^{2}- 2l\sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} }+{l}^{2} \} }$ 　

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k{ $ \sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} }- l $ }^{2} }$ 　

よって，物体を原点から点Aまでゆっくりと動かしたときの弾性力のした仕事は $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k{ $ \sqrt{ {l}^{2}+{d}^{2} }- l $ }^{2} }$ である．

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最終更新日： 2023年11月23日